.nalytische). 
Quadratur (analytische). 279 Quadratur (analytische). 
id vielfache In- 
ix=<j{y). 
ieses Integrales ist 
:;htet. Wir setzen 
is, dass die Gren- 
/ unabhängig sind, 
erer Bezeichnung: 
y i) + • • • 
~ x p-i) f(. x p >yi)] 
y *)+••• 
/3) + • • • 
- x p - t )f( x p ,y 3 )] 
'’siy r )+ • • • 
- x p-i)f( x p’ y r )]- 
r- { )fi x iy r ), 
mit dem obigen 
en Glieder zusam- 
en also den Satz: 
kommt es auf die 
che Integrale aus- 
Es ist nämlich: 
/ z s nVr f x p / *s f x p ryr 
I I f(x,y,z)dxdydz- III f(x,y,z)dydxdi 
*o J yo J x o J % o x o J y0 
n x p p % s nVr 
= I / / f(x,y,z)dydzdx, 
J x 0 J *o‘ J y0 
wie sich durch wiederholte Anwendung des eben gegebenen Satzes sogleich zeigt. 
Bei diesem Satze ist jedoch die von Zunächst wollen wir diesen Fall an 
Cauchy gemachte Bemerkung von gros- einem Beispiele erläutern, 
ser Wichtigkeit, dass ermöglicherWeise Es sei gesucht; 
seine Anwendung verlieren kann, wenn _j_ 1 i 2 , 
für einen zwischen den gegebenen Gren- C C ^ ~ x ¿y dx. 
zen liegenden Werth von x, y u. s. w. J _, .7 (y +« 2 ) 2 
das Argument f(x, y, z) discontinuirlich 7 
wird. Die Möglichkeit dieser Ausnahme Das Argument • - wird unend- 
ist für die ganze Integralrechnung be- (y 2 + « 
reits erwiesen, und es kommt nur dar- lieh nur, wenn y und x sich der Null 
auf an, zu finden, in welchen Fällen sie nähern; offenbar ist nämlich, wenn x — p, 
stattfindet, und wie gross der Unter- y — sp gesetzt wird, wo p unendlich klein, 
schied zwischen den Integralen wird, * endlich ist: 
wenn wir die Grenzen umkehren. s 2 —1 
Wir beschränken uns auf Doppel- (y a + x 2 )' 1 ~~ (« 2 +l) 2 ^ 2 ’ 
Integrale, da sich die Anwendung auf algQ in der That unendlich gross . 
mehrfache ohne Schwierigkeit ergibt. 
Nun ist: 
r , h - ri 1 
J (r+^y y -J x /j» +1 y w 
/ 
dz 
(1 + * 2 ) 2 
+ 
hf 
dz 
(1 + z*y 
~ aAl+a 2 /’ 
wo i = - gesetzt wurde. 
Also: 
1 
/ y 2 —x 7 _ _2 f x_ \ 2 
(y»+x 2 ) 2 y ~ x + ~ 1 + 
/»+ 1 dx _ r +1 y 2 -x 2 
./ _1 1+X* ~ J _1 (y 2 +* a ) 
_ 2 - 
J 1+x* 
-2 arctg«, 
-dydx— —2arctg(+l)+2arctg(—1) 
und da 
arctg(+l) = j, arctg(—1)= —— 
ist: 
t (y 2 +Z 1 ) 
Integriren wir nun zuerst nach x, so kommt: 
1—— 
r r 
J (y>.+ »’)= y J 
dy dx — —n. 
£ = 1 
y 
1+ F