Quadratur (analytische). 
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Quadratur (analytische). 
also: 
+ ‘ * = : 2 
mithin: 
f -_!(»* +»*) 
1 + 1 _ 
•1 
1+y 2 ’ 
2 . f _ i 1+P = 2 ar ° tS (' + ^“ 2 ar ° tg (‘~^ 
> + i /»4-1 
dx dy — + n, 
y*—x“ 
(y 1 +x*y 
Wir setzen: 
pd pß 
y) dx dy, 
** y'* a 
ß ^d 
B=r r f{x,y) dy dx. 
•' a'J y 
so dass, wenn man die Grenzen des 
Integrals umkehrt, sich der entgegen 
gesetzte Werth + n statt — n ergibt, 
also der Unterschied beider Integrale 
2at beträgt. 
Es ist zu bemerken, dass man bei der 
Berechnung in beiden Fällen nach all- ,, w 
gemeinen Regeln, also ohne Berücksich- _ cc y 
tigung der Discontinuität verfahren ist. ^ei ^ e i ne zwischen a und ß liegende 
Cauchy zeigt aber auch, wie man im Zahl, fx eine solche, die zwischen y und 
allgemeinen Falle den Unterschied bei- d liegt, und sei: f(X, fx) discontinuirlich. 
der Integrale ermitteln kann. Für den Finden sich mehrere Discontinuitäten vor, 
Fall, dass derselbe Null ist, kann dann so ist das jetzt zu gebende Verfahren 
die Umkehrung ohne Bedenken statt- lediglich zu wiederholen, 
finden. Sei ferner: 
Jf(& y) dx ~ 7 (*» y)» J'K+ y) d \}~ x P (», y), 
f, 9 zwei unendlich kleine, aber positiv angenommene Zahlen, so ist: 
/ i M — s pß pd pß pß p pf,i—g 
I f(?,y)dxdy 4- / / f(x, y) dx dy = / / f( x , y) dy 
y ’ « J fx + 9 J a J «L / y 
+ f f{. x ,y)dy~\ dx. 
J /u+9 -1 
In diesen Integralen findet sich nämlich keine Discontinuität, es ist mithin die 
Umkehrung der Grenzen gestattet. Mit Anwendung der oben gegebenen Bezeich 
nung aber erhält man: 
f 1 * [7 (ft y)'“ 7 («»y)] d y+ f [<f{ß, V)~ <f («, y)] dy 
J y J /u + 9 
pß 
= / [ X p{ x ^~t)-ip{x,y)+if{x,d)-ip{x, f x + 9)]dx. 
^ a 
Lässt man nun sowohl e als 9 nach Null hin convergiren, so gibt die linke Seite 
dieser Gleichung: 
pd pd pß 
I b(ß’y)- f fb,y)]dy=l / f{x, y) dx dy. 
J y J y J cc 
Dagegen wird die rechte Seite: 
pß pß 
/ d)-\p(x, y)] dx + 1 [ip{x, ip{x, IX + 5-)] dx, 
a J a 
d. h. 
rß pd pß pfx+9 
/ / f{x,y)dydx- / I f{x,y)dy dx; 
u v. y J IX —e