Quadrate (Methode der kleinsten). 22 Quadrate (Methode der kleinsten). 
Quadrate (Methot 
Wirkung herbeiführen können, im Zäh 
ler die günstigen. Setzen wir voraus, 
dass alle Ursachen gleich möglich seien, 
und jede von ihnen überhaupt q Erfolge 
habe, so ist unter dieser Voraussetzung 
der gleichen Wahrscheinlichkeit aller 
Ursachen dieses q für alle Ursachen 
A t A 2 A m dasselbe; und mithin kann 
man in unsern Bruche für 
bezüglich 
Pi _ 
9 
PiPi ■ ■ ■ Pm 
setzen, so dass die Wahrscheinlichkeit, 
dass die Ursache A, stattgefunden habe. 
gleich —-E wird, d. h. gleich der Wahr 
scheinlichkeit >\ dass die gegebene Wir 
kung eintreten könnte, wenn nur die 
Ursache A l vorausgesetzt würde, dividirt 
durch die Summe aller Wahrscheinlich 
keiten, die unter Voraussetzung jeder 
der gegebenen Ursachen eintreten. 
In unserm Falle nun bestehen die Ur 
sachen des verlangten Erfolgs darin, dass 
irgend eine Verbindung der Constanten 
a, b, c . . . stattfindet, die Wirkung ist, 
dass die Beohachtungsfehler die Gestalt 
x, x., . . . x haben, und die Wahr- 
scheinlichkeit, dass dies unter Voraus 
setzung der eben gegebenen Ursache ein 
trete, ist jS2 = »• t , also die Wahrscheinlich 
keit, dass wirklich die Constanten die 
Gestalt «, h, c . . . hatten, ist nach 
Obigem gleich - —, wo im Zähler für 
die Constanten die Werthe a, b, c . . . 
zu setzen, im Nenner alle möglichen 
Werthe derselben von — oo bis -f-co zu 
nehmen sind. Man erhält dann für die 
verlangte Wahrscheinlichkeit: 
wo 
L - 
£lda db de 
/ •+GO /M-co n 
— CC ./ —00 ./ 
/ + 20 /* + 00 Í' 
— OC ./ —00 J 
+ 20 
00 
+ QC 
00 
= h £1 da db de . . ., 
... Sl da db de ... 
. . . £1 da db de . . , gesetzt ist. 
Diejenige Auswahl der Constanten wird thunlich. Da dies unmöglich ist, muss 
die vortheilhafteste sein, für welche diese man statt dessen sich mit der grösst- 
Wahrscheinlichkeit ein Maximum ist. Hätte möglichen Wahrscheinlichkeit begnügen, 
man nämlich Gewissheit, dass diese Con- Es ist also kSldadbdc ... oder £1 .. . 
stanten eine gewisse Grösse haben, so als Maximum zu setzen. Es war aber: 
wäre die genaue Bestimmung von F 
£1 = 
/adx\ m —a 2 (x. ,J -\-x„ 2 
w) e 
+ . . . +* m 2 ), 
welche Grösse ein Maximum wird, wenn 
2X 1 — X^ 1 + X 2 2 + . . , + Xdi 2 
ein Minimum ist. 
Somit sind die Constanten derart zu 
bestimmen, dass die Quadratsumme aller 
Beohachtungsfehler ein Minimum wird, 
daher rührt für diese Methode der Name 
der kleinsten Quadrate. 
4) Es wurde bis jetzt die Sache so 
angesehen, dass alle Beobachtungen 
/d x\ m — (<Y t 2 
£l-a iC < 2 .... 6 
und es muss 
a i 1 a? i 2 + ff a 2a? 2 a + • • • 
ein Minimum werden. Dieser Fall lässt 
sich aber auch auf den vorigen zurück 
führen durch folgende Betrachtung. Da 
a l a 2 . . . jedenfalls nur annäherungs 
weise bestimmt werden können, so kann 
man sic mit einem beliebigen Grade der 
gleich gut seien unil ihnen gleicher Ein 
fluss eingeräumt werden müsse, d, h. 
dass die Präcision « constant sei. Heben 
wir jetzt diese Voraussetzung auf, und 
mögen den Beobachtungen die entspre 
chenden Präcisionen a t , « 2 . . . r m 
zukommen, so wird offenbar; 
a7 l 2 + rf 2 2 o- 2 2 + . .. +a m *x m i ), 
+ « m 2 x„A = v« 2 x* 
Genauigkeit als Brüche betrachten, und 
diese auf gleichen Nenner / bringen, es 
sind demgemäss: 
k 2 a l 2 , A 2 « 2 2 , . . . A a «,»* 
ganze Zahlen, die wir mit ß v . . . ß m . 
bezeichnen, dann ist: 
£l^ß,ß, • • 
Der Ausdruck, wel 
N 
Nimmt man nun ai 
obachtungen sei ß 
da sämmtliche ß g 
gieht jeder die Prä 
ß v den Beobachtur 
genden ß 2 den E 
und so fort, so ei 
2) gegebenen liege 
Werth von £1 gan; 
Die Coefficientei 
nen die relative 
Gewicht der Bcoha 
türlich nur ahschi 
die Gewichte von 
stimmen. Es setz 
strumente und £ 
voraus. 
Hat man zwei B 
gleicher Genauigke 
irgend wie überzeu 
2(1 
Ucbrigcns ist die 
Function F (a, b, 
dieselbe Form für 
be, aus denen si< 
eine durchaus un’ 
bis jetzt gemachte 
chcnden Schlüsse 
man für die einze 
die Form von F < 
Die Anzahl uns 
Gleichungen ist c 
Constanten a , b , 
durch deren Aufli 
löst. Indessen w 
linear, wenn a, l 
in F enthalten sii 
lässt sich, wie wi 
die allgemeine . 
Sei also 
F= au+ 
so werden unser 
wir wieder I'\ — C 
u. s. w. setzen, 
u. s. w. ist. 
«i+®j u i 
X i V i ■+ x 2 v 2 
x l ic l +x 2 w 2 -