Quadratur (analytische). 
283 Quadratur (analytische). 
Eig 31. 
Sollten gewisse der Abscissenaxc oder 
der Ordinatenaxe parallele Linien (Eig. 31) 
ABCD den Umfang mehr als zweimal 
schneiden, so ist das betreffende Integral 
von A nach B und von C nach D zu 
erstrecken, während der über ßCerstreckte 
Theil ausfällt. Aehnliches tritt ein, wenn 
die Begrenzung eine Mehrfache ist. Geht 
sie zum Theil ins unendliche, so ist der 
betreffende Werth Y l oder _X\ gleich 
unendlich zu nehmen. Es setzt dies 
aber voraus, dass noch der Werth des 
Integrales ein bestimmter sei, was eigen- 
thümliche Untersuchungen erfordert, die 
später folgen werden. 
Beispiel. Der gewöhnlichste Eall 
ist der, wo (Eig. 32) der Umfang gebildet 
wird l) durch einen Theil der Abscissen- 
axe AD, 2) durch zwei parallele Ordi- 
naten AB und CD, 3) durch das ent 
weder immer concav oder immer convex 
gekrümmte Curvenstück BC. 
Es ist leicht ersichtlich, dass in jedem 
Falle ein gegebenes Doppelintegral sich 
in Stücke zerlegen lasse, die in der an 
gegebenen Weise begrenzt sind. 
Eig. 32. 
Sei 
f{x,y) = 0 
die Gleichung der Curve BC, und möge 
sich daraus ergeben 
2/= </(*), x = ip(y). 
Ist nun f f fix,y) dydx auf diesen Inhalt 
zu erstrecken, so ist offenbar: 
Y i =r f( x ), Y 0 = 0, 
x 0 = OA, x t = OD. 
Soll dagegen die Integration in der 
Ordnung f f fix,y) dx dy vollzogen wer 
den, so sieht man sogleich, dass für alle 
Werthe von y, die kleiner als AB, d. h. 
kleiner als y{x 0 ) sind, X, = OD, X 0 = OA, 
also Xj^iCj, X 0 =x 0 zu nehmen sind. 
Wird aber aber y~GH grösser als AB, 
so ist die Integration über die Strecke 
GF, d. h. von X 0 — \p(y) bis X v = OD — x x 
zu erstrecken. Die Grenzen von y aber 
sind y 0 — 0, da das kleinste y auf der 
Abscissenaxe liegt, und = CD = y(x l ) ist. 
Man hat also: 
/ *i pfi») /WOO p x i n x i 
/ fix, y) dy dx — I / fix, y)dxdy+1 I fix, y) dx dy. 
x Q J 0 J 0 J x 0 J o J *piy) 
Complicirter noch würde der Ausdruck 
sein, wenn die Curve BC die Krüm 
mungsrichtung änderte, jedoch lässt sie 
sich in diesem Falle immer in Theile 
mit gleicher Krümmungsrichtung zer 
legen. 
Zu Beispielen für diese Sätze werden 
die folgenden Abschnitte dieses Artikels 
noch Gelegenheit geben. 
36) Transformation mehrfacher 
Integrale. 
Die Transformation einfacher Integrale 
war durch die Formel 
f fix) dx = /fix)'- du 
gegeben, wo man voraus setzt, dass x 
eine Function von w sei. 
Sei jetzt gegeben 
r y 
I E(y)ify = '/(«/), 
•J r/ 
Fiy) = 
c hiy) 
dy 
und setzen wir 
y = xp{x,u), 
wo x und u veränderlich sein sollen, so 
wird: