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Quadratur (analytische). 284 Quadratur (analytische). 
»w -Z 1 » (£*+£*) 
Gesagten ches Zeichen haben. Ist also z. B. dx 
. positiv und C ^- negativ, so ist auch du 
f [f{x,«) dx +f. (x, u)du], du 
.... , , , _ negativ zu nehmen, wo dann u. untere, 
we c er m irgend welchen Grenzen ge- u a k e r 0 k ere Grenze sein würde. Um 
nommen ist der Werth ganz derselbe, diese Vertauschung der Grenzen zu ver- 
we c es auch die Gleichung zwischen x me iden, kann man, wie hier geschehen, 
und u sei, vorausgesetzt, dass f und f t du Btet8 positiv den ken und das Integral 
mit doppelten Vorzeichen versehen. Durch 
Umkehrung der Grenzen ergibt sich dann: 
A =Jf (f.^x)du, 
wo die Grenzen nach dem obigen Ver 
fahren zu bestimmen sind. Sei jetzt: 
x=y(u,v), 
so kann man ganz wie oben setzen: 
wo die Grenzen sich ebenfalls nach dem 
vorigen Abschnitte ergehen, u und v 
sind durch die Gleichungen: 
X = (f (u, v), y = tp(x,u) 
völlig bestimmt. Werde aber die letz 
tere Gleichung ersetzt durch die folgende 
y = V\(fh v), 
so handelt es sich eben nur darum, den 
dxp 
Werth von —■ durch y und y, auszu 
drücken. 
M i di* 
F(y)^du. 
dy dy __ dy „ _dy % _ 
dy dx dx' 1 ~~ dy du du' 
so verwandelt sich offenbar das letzte 
Integral in das uns vorliegende, und 
es ist 
df _ d»y df t _ d», 
du dxdu dx dudx’ 
welche Ausdrücke in der That identisch 
sind. 
Ist also F(y) continuirlich, so kann 
man z. B. voraussetzen, dass x während 
der Integration constant bleibe, und hat: 
F(y)dy=J 
Die Grenzen des letzten Integrals müs 
sen denen des ersten entsprechen, und 
ergeben sich aus den Gleichungen: 
\p{x, M 0 ) =«, ip{x,u l ) = y. 
Sei jetzt gegeben: 
/ x i rVi . 
I f{ x i y) dy dx, 
x o' ß yo 
wo y 0 , 1/, im Allgemeinen Functionen 
von x und x 0 , x, Constanten sind, wie 
dies im vorigen Abschnitte sich ergab. 
Machen wir nun die Substitution: 
y=ip(x,u), 
so ergibt sich nach dem Obigen: 
-y- ist nun der Differenzialquotient von 
y nach u unter der Bedingung genom 
men, dass x constant sei. Unter dieser 
Bedingung hat man aber: 
ö y _ dr fi [ dy t dy 
du du dv dw 
dx _ dy dy, da_Q 
du du dv du 
Eliminirt man aus diesen beiden Glei- 
dv 
chungen: so kommt: 
1 /dy t dy dy ! da\ 
dyi \ du dv dv du/’ 
~JJ'f{ x ,y)dxdy~ f f Adu dv, 
od 
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