(analytische). 
>r 
V 
dif, 
»> 51’ 
dp 
ör 
Quadratur (analytische). 289 Quadratur (analytische). 
also: 
Die Bestimmung der Grenzen bei der 
Transformation ist nach dem Obigen 
leicht anzustellcn, führt indess oft, wie 
die Transformation selbst, zu langwieri 
gen Rechnungen. 
37) lieber die Berechnung der 
bestimmten Integrale. 
Oft lassen sich Quadraturen in gewis 
sen gegebenen Grenzen, z. B. 0 und co, 
— co und oo , 0 und 1, 0 und n noch 
dann ausführen, wenn sich das allge 
meine Integral der Berechnung entzieht. 
Diese Berechnungen bilden die so 
wichtige Theorie der bestimmten Inte 
grale, welche wir jetzt zu geben haben. 
Zunächst aber ist eine Bemerkung über 
diejenigen bestimmten Integrale zu ma 
chen, deren eine Grenze unendlich wird. 
Es kann hier derselbe Fall wie bei 
den Reihen eintreten, die eine unendliche 
Anzahl von Gliedern haben, dass näm 
lich der Ausdruck aufhört, einen be 
stimmten Werth zu haben, also entweder 
unbestimmt oder unendlich gross wird. 
Sei das Integral 
Schliesslich bemerken wir noch, dass 
der Integrationsweg bei bestimmten In 
tegralen angegeben werden muss. Ge 
schieht dies nicht, so setzten wir immer 
den gradlinigen Weg voraus, der übri 
gens, wie an seiner Stelle gezeigt wurde, 
der einzige Werth ist, wenn, wie dies 
sehr häufig der Fall ist, die Function 
unter dem Integralzeichen nicht discon- 
tinuirlich wird und keine Mehrdeutigkeit 
besitzt. Noch ist zu beachten, dass selbst 
Discontinuitäts - oder mehrfache Punkte 
eine Mehrdeutigkeit des Integrals zwar 
möglich machen, aber nicht mit Noth- 
wendigkeit bedingen. 
38) Erste Methode der Quadra 
tur bestimmter Integrale. 
r 
fix) dx — </ («) 
gegeben, so verfährt man, um zu unter 
suchen, ob dieser Fall eintrete, ähnlich 
wie bei Reihen, die man in Bezug auf 
ihre Convergenz oder Divergenz prüft. 
Man setzt nämlich 
/ *k /»X' 
f(x)dx+ I f ix) dx, 
a '' k 
wo man sich k endlich, aber unbestimmt 
gross denkt. Wenn der zweite Thcil 
/ 00 
f{x) dx mit wachsendem k sich 
h 
der Null nähert, so hat das Integral 
einen Grenzwerth,und es ist derselbe gleich 
pk 
I f{x) dx. 
J 0 
Aehnliche Betrachtungen lassen sich 
machen, wenn die untere Grenze — oo 
ist. 
Unter den Methoden, welcher man sich 
zur Auffindung bestimmter Integrale be 
dient, ist folgende von grosser,, Wichtig 
keit. Sei 
das zu bestimmende Integral, so gelingt 
es zuweilen, den Ausdruck fix) unter 
der Form eines andern bestimmten In 
tegrals auszudrücken. Ist demnach 
r* 
fix) - I 7 (m, x) du, 
' Y 
so hat man: 
rß 
U — I I 7 (m, x) du dx, 
oder bei Umkehrung der Grenzen: 
pd pß 
U = j J 7 (m, x) dx du. 
J yJ a 
f'ß 
Gelingt es dann # 7 (m, x) du auszu- 
J n 
drücken, so ist zuweilen auch die noch 
übrige Integration ausführbar, so dass 
U in der That bestimmt ist. Diese 
Methode beruht im Wesentlichen auf 
Umkehrung der Grenzen. 
19