xte (Methode der kleinsten). 
Summe aller Wahrscheinlich- 
e unter Voraussetzung jeder 
inen Ursachen eintreten. 
•m Falle nun bestehen die Ur- 
1 verlangten Erfolgs darin, dass 
ic Verbindung der Constanten 
. stattfindet, die Wirkung ist, 
ieobachtungsfehler die Gestalt 
. x haben, und die Wahr- 
:eit, dass dies unter Voraus- 
r eben gegebenen Ursache ein- 
2 — r t , also die Wahrscheinlich- 
i wirklich die Constanten die 
, b, c ... hatten, ist nach 
leich . wo im Zähler für 
A22 
inten die Werthe a, b, c . . . 
im Nenner alle möglichen 
rselben von —co bis +co zu 
nd. Man erhält dann für die 
Wahrscheinlichkeit: 
~k 22 da db de . . ., 
, . gesetzt ist. 
Da dies unmöglich ist, muss 
dessen sich mit der grösst- 
Wahrscheinlichkeit begnügen. 
) h 22 da db de ... oder 22 .. . 
um zu setzen. Es war aber: 
'ir’m 2 ), 
seien unil ihnen gleicher Ein- 
jräumt werden müsse, d. h. 
äcision n constant sei. Heben 
liese Voraussetzung auf, und 
i Beobachtungen die entspre- 
räcisionen n,, «, . . . r m 
so wird offenbar: 
, 2 -f- ... + ( f m* x m 2 }j 
= A« 2 x' 1 
t als Brüche betrachten, und 
;leichen Nenner / bringen, es 
mäss: 
2 , 2, 2 «j 2 , . • . I 2 a m 2 
en, die wir mit ßi ß 2 . • . ßm 
dann ist: 
Quadrate (Methode der kleinsten). 23 Quadrate (Methode der kleinsten). 
Sl = Vß l ß 2 . . . ßr 
~f, 2 (ß l X t 2 X 2 2 + . . . -\-ßm x m i ') 
Der Ausdruck, welcher ein Minimum wer 
2(ßx>)='ß l x\*+ß t x i 
Nimmt man nun an, die Anzahl der Be 
obachtungen sei ßi+ßi+ • • • + ßm, 
da sämmtliche ß ganze Zahlen sind, und 
gieht jeder die Präcision —, den ersten 
ß t den Beobachtungsfehler x ,, den fol 
genden ß 2 den Beobachtungsfchler x 2 , 
und so fort, so erhält man nach der in 
2) gegebenen Kegel den entsprechenden 
Werth von 22 ganz wie hier. 
Die Coefficienten ß v ß 2 . . . bezeich 
nen die relative Günstigkeit oder das 
Gewicht der Beobachtungen. Es ist na 
türlich nur ahschätzungsweise möglich, 
die Gewichte von Beobachtungen zu be 
stimmen. Es setzt die Prüfung der In 
strumente und auch der Messenden 
voraus. 
Hat man zwei Beobachtungen von un 
gleicher Genauigkeit, und hat man sich 
irgend wie überzeugt, dass bei der einen 
2(F- C )~ = 0, A(F-C) 
den muss, ist dann: 
-j- . . ♦ ßm x m* 
der Fehler x L ebenso leicht verkommen 
könne, als in der andern der Fehler x 2 , 
so sind, wenn a l « 2 die entsprechenden 
Präcisionen sind, die relativen Wahr 
scheinlichkeiten des Vorkommens dieser 
Fehler, wie in 1) dargethan ist, 
e " l ~ l e " 2 
und diese Grössen sollen 
woraus sich ergiebt ; 
gleich sein, 
"2 - I 
rf t 2 und c( 2 2 , sind aber die Verhältnisse 
der Gewichte, also: Die Gewichte verhalten 
sich umgekehrt, wie die Quadrate der als 
gleich vermutheten Fehler. 
5) Da der Ausdruck 
A(.r 2 ) = A(F-C) 
ein Minimum ist, so sind die partiellen 
Differentialquotienten nach a, b, c . . . . 
gleich Null zu setzen. Man erhält: 
Uebrigcns ist die Annahme, dass die 
Function F (a, b, c , . . «, v, w . . .) 
dieselbe Form für alle Gleichungen ha 
be , aus denen sich a b c ergeben soll, 
eine durchaus unwesentliche, und alle 
bis jetzt gemachten und künftig zu ma 
chenden Schlüsse bleiben richtig, wenn 
man für die einzelnen Gleichungen sich 
die Form von F geändert denkt. 
Die Anzahl unserer eben entwickelten 
Gleichungen ist offenbar gleich der der 
Constanten a, b, e . . . und ist also 
durch deren Auflösung das Problem ge 
löst. Indessen werden die Gleichungen 
linear, wenn a, b, c . . . selbst linear 
in F enthalten sind, und auf diesen Fall 
lässt sich, wie wir gleich sehen werden, 
die allgemeine Aufgabe zurückführen. 
Sei also 
F — au-\-bv-\-cw . . ., 
so werden unsere Gleichungen, wenn 
wir wieder F l — C l — x lt F 2 — C 2 — x 2 
, dF öF 
u. s. w. setzen, da - x — = u, = r 
da ob 
u. s. w. ist. 
x i «i+ r i i< 2 +‘ r s H 3+ • • • =0 
*l» , l + ;r 2 , ’i+ a, Uj+ ... =0 
x t ic l -\-x 2 w 2 +x i w :i -{- . . . =0 
Da aber 
x t = au i -f- bv t cic t — C t 
x 2 = aii 2 +lw 2 +ctc 2 — C 2 
u. s. w., so erhält man 
alu 2 -\-bluv -\-c2mc+ . . , =2uC 
aZuv -)- b 2 -f- cZtw +...=: 2v C 
a2mc + b2vw + 2 + ... —JwC 
Bei der Auflösung ist es, namentlich, 
wenn die Anzahl der Gleichung gross 
ist, wohlgethan, die Werthe der u und v 
einzusetzen, und die so entstehenden 
numerischen Gleichungen aufzulösen, statt 
a, b, c . . . zuerst in Buchstaben-For 
meln zu entwickeln. Da übrigens z. B. 
1 1 
A (ii r) = —A (m + v) 2 ——A(« — r) 2 
u u 
ist, so lassen sich die Coefficienten der 
Unbekannten a, b, c immer auf Quadrate 
zurückführen, und daher wird eine Ta 
fel der Quadratzahlen, wie sie hier im 
Artikel Quadrat sich befindet, wesent 
liche Dienste leisten. 
Wenn nun die Grössen F(a, b, c 
... u, v, w) nicht linear sind, so kann 
man folgendes Verfahren einschlagen. 
Man berechne aus einer beliebigen An 
zahl der Beobachtungen, die gleich der 
der Constanten a, b, c ist, die letztem