(analytische).
Quadratur (analytische). 293 Quadratur (analytische).
+ Q + t] n
«
+ Q] 71
Sin C(X ,
dx,
x
tiver Bruch sein soll.
i Zeichen nicht au
ch ist, und u eine
(m+ i )n
«
11
sin axd (ax),
a
)n
21
l 2s-(-n-)-5' M +i)/r ’
• folgenden, welche
mit Null, in den
r die beiden letzten
2 1
n 2s’
leihe, die entsteht,
egativen dafür Null
: 0
/ 00
h
also:
dx = 0
folgt, und die Continuität unsers Inte
grals erwiesen ist. Man hat somit:
oo
•' 0
sm ax cos ax , n
dx =—.
X 4:
/:
sm ax ,
dx — +
2’
III a
wo das obere oder untere Zeichen gilt,
je nachdem « positiv oder negativ ist.
Der Ausdruck IV ist wichtig für ge-
Avisse später folgende Untersuchungen.
Dirichlet, von dem dieselben herrühren,
nennt das Integral den „discontinuirli-
chen Factor“, und gibt ihm eine Form,
wo « = 1 ist:
Für a gleich Null, wird der Ausdruck 2 P sma cos ß x o ^ ejt _q
^.co n J n x
r ^ dx .
./« * =,g< °
also discontinuirlich.
Der erste Werth gilt, wenn ß positiv
oder negativ kleiner als Eins ist, also
zwischen —1 und -fl liegt, der zweite,
III. Aus der Formel lila lässt sich wenn ß irgendwie ausserhalb dieser
noch ein andres wichtiges Resultat her- Grenzen fällt. Das Zeichen von ß hat
leiten. Sei
o,-f 6,
a und b positiv, und a grösser als b,
so hat man;
/ 00
0
/
nämlich offenbar keinen Einfluss auf das
Resultat.
IV. Die Formel
.00
sin (a -f b)x _
f,
~( a + bi >dx:
ci -f bi
c0 sin (a—b)x _ n
' ¡T cx ~~2’
von welcher wir hei diesen Betrach
tungen ausgingen, ist auch an sich wich
tig.
Sie zerfällt, wenn man das Reelle
also, wenn man diese beiden Foimeln vom j ma g m ären trennt, und
addirt und auch subtrahirt:
1 a — bi
f
f
00 sin a x cos b x . n
—V *=T
00 sin b x cos a x
dx = 0,
ein Resultat, dass man auch folgender-
massen schreiben kann:
f
sin U X cosßx 71
aß-bi a 2 ~\b‘ i
setzt, in die beiden andern:
,00 _
e (K>s bxdx —
0
.00
— ax . , ,
e sm bx dx ~
0
/:
/:
a s + b 2
b
a 2 -f b 2 i
VI
dx = — oder 0.
U
IV wo a positiv sein muss.
Beide Formeln verlieren ihre Bedeu-
Der erste Werth gilt, wenn « grösser tung, wenn a gleich Null wird. In die-
als ß, der zweite, wenn u kleiner als ß sem Falle werden nämlich beide Inte-
ist, vorausgesetzt, dass a und ß positiv grale discontinuirlich.
sind.
Ist ß = a, so hat man: V. Multipliciren wir die Formel VI
CT) • n . COS bdb , . . . , „
810 2«^, Ti mit und mtegnren m den Gren-
(IX — yr")
/
zen h und co, so kommt:
/:/
ikehrung d
y .co /. J,
0 0
oo „ —ax
sin hx cos b
0 ^ 0 b
aber mit Umkehrung der Grenzen:
aX • 1 1
sm bx cos b
dx db
I C(
J o a
00 cos bdb
db dx
S.= r -
j 0 «
00 cos b db
+ b 2 ’
1s wachsende h ist,
b