Full text: Q (5. Band)

(analytische). 
Quadratur (analytische). 293 Quadratur (analytische). 
+ Q + t] n 
« 
+ Q] 71 
Sin C(X , 
dx, 
x 
tiver Bruch sein soll. 
i Zeichen nicht au 
ch ist, und u eine 
(m+ i )n 
« 
11 
sin axd (ax), 
a 
)n 
21 
l 2s-(-n-)-5' M +i)/r ’ 
• folgenden, welche 
mit Null, in den 
r die beiden letzten 
2 1 
n 2s’ 
leihe, die entsteht, 
egativen dafür Null 
: 0 
/ 00 
h 
also: 
dx = 0 
folgt, und die Continuität unsers Inte 
grals erwiesen ist. Man hat somit: 
oo 
•' 0 
sm ax cos ax , n 
dx =—. 
X 4: 
/: 
sm ax , 
dx — + 
2’ 
III a 
wo das obere oder untere Zeichen gilt, 
je nachdem « positiv oder negativ ist. 
Der Ausdruck IV ist wichtig für ge- 
Avisse später folgende Untersuchungen. 
Dirichlet, von dem dieselben herrühren, 
nennt das Integral den „discontinuirli- 
chen Factor“, und gibt ihm eine Form, 
wo « = 1 ist: 
Für a gleich Null, wird der Ausdruck 2 P sma cos ß x o ^ ejt _q 
^.co n J n x 
r ^ dx . 
./« * =,g< ° 
also discontinuirlich. 
Der erste Werth gilt, wenn ß positiv 
oder negativ kleiner als Eins ist, also 
zwischen —1 und -fl liegt, der zweite, 
III. Aus der Formel lila lässt sich wenn ß irgendwie ausserhalb dieser 
noch ein andres wichtiges Resultat her- Grenzen fällt. Das Zeichen von ß hat 
leiten. Sei 
o,-f 6, 
a und b positiv, und a grösser als b, 
so hat man; 
/ 00 
0 
/ 
nämlich offenbar keinen Einfluss auf das 
Resultat. 
IV. Die Formel 
.00 
sin (a -f b)x _ 
f, 
~( a + bi >dx: 
ci -f bi 
c0 sin (a—b)x _ n 
' ¡T cx ~~2’ 
von welcher wir hei diesen Betrach 
tungen ausgingen, ist auch an sich wich 
tig. 
Sie zerfällt, wenn man das Reelle 
also, wenn man diese beiden Foimeln vom j ma g m ären trennt, und 
addirt und auch subtrahirt: 
1 a — bi 
f 
f 
00 sin a x cos b x . n 
—V *=T 
00 sin b x cos a x 
dx = 0, 
ein Resultat, dass man auch folgender- 
massen schreiben kann: 
f 
sin U X cosßx 71 
aß-bi a 2 ~\b‘ i 
setzt, in die beiden andern: 
,00 _ 
e (K>s bxdx — 
0 
.00 
— ax . , , 
e sm bx dx ~ 
0 
/: 
/: 
a s + b 2 
b 
a 2 -f b 2 i 
VI 
dx = — oder 0. 
U 
IV wo a positiv sein muss. 
Beide Formeln verlieren ihre Bedeu- 
Der erste Werth gilt, wenn « grösser tung, wenn a gleich Null wird. In die- 
als ß, der zweite, wenn u kleiner als ß sem Falle werden nämlich beide Inte- 
ist, vorausgesetzt, dass a und ß positiv grale discontinuirlich. 
sind. 
Ist ß = a, so hat man: V. Multipliciren wir die Formel VI 
CT) • n . COS bdb , . . . , „ 
810 2«^, Ti mit und mtegnren m den Gren- 
(IX — yr") 
/ 
zen h und co, so kommt: 
/:/ 
ikehrung d 
y .co /. J, 
0 0 
oo „ —ax 
sin hx cos b 
0 ^ 0 b 
aber mit Umkehrung der Grenzen: 
aX • 1 1 
sm bx cos b 
dx db 
I C( 
J o a 
00 cos bdb 
db dx 
S.= r - 
j 0 « 
00 cos b db 
+ b 2 ’ 
1s wachsende h ist, 
b
	        
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