Quadratur (analytische). 294 Quadratur (analytische). 
Es ist aber: 39) Zweite Methode der Qua- 
/' co siabx cosbdb n . „ ärat,lr bestimmUr Integrale. 
/ ^ — n °^ er gleich 0, Ein öfter angewandtes Mittel gewährt 
J 0 die Einführung neuer Variablen hei Dop- 
je nachdem das positive x grösser oder pcll^tegralen, auf welche, horm die zu 
kleiner als 1 ist. Das Integral nimmt bestimmenden Ausdrücke in irgend einer 
also die Gestalt an: Weise zu bringen sind. 
* r e~ ax dx- r ~ 
2 J ! J 0 « 
00 cos hdb 
Ein Beispiel wird dies klar machen. 
Sei das zu bestimmende Integral: 
U = 
/ 
dx, 
da der von 0 bis 1 gehende Theil des 
ersten Integrals verschwindet. Berech- 0 
net man den Ausdruck links, so kommt; wo a eine positive Grösse oder eine 
.co , complexe, deren reeller Theil positiv ist, 
cos b db 7i Dann ist offenbar: 
2 a 
U*= e~ ax 'dx. I e~ C( y‘ 
0 
00 cosaxdx n —a. „— oder auch: 
/: 
0 « 2 + 6 a 
oder, wenn man h — ax setzt: 
/ 
1 + x 2 
n 
= 2 e 
VII 
- f e “ xl dx. f e -"9 dy 
uch: 
'dy dx. 
0 *■ 1 w " /»00 /»00 
wo a aber positiv sein muss. Es kann ^ ~ . 
a auch Null sein, wie sich unmittelbar 
verificiren lässt; wäre« negativ, so wäre Wir machen nun die Substitution 
der absolute Werth von a rechts in den z , 
Exponenten zu setzen. 
.. , wo auch 
Differenznrt man noch a unter dem _ 
Integralzeichen, so kommt: z = 0 für y~0, 
s = oo für y — co 
= |e~ a . VIII wird. 
Nach den in Abschnitt 36 enthaltenen 
/ 
x sin axdx 
r 
Integrirt man VII nach a in den Prinzipien 'ist dann: 
Grenzen a — 0 und a — a, so kommt: 
^»GO /»CO 
r 00 skuurcfcc _ n „ 
./„ > IX 
immer positives a vorausgesetzt. 
U*=r f e-^^+^xdxd*, 
j 0 0 
wo die Ordnung der Integration ver 
tauscht ist, aber: 
/• 
-■<*>* ii+*%dx=x 
ife 
d{x i )= — 
«0 +J 2 ).r- 
2«(1 + **) 
und im Falle a seinem reellen Theile nach positiv ist: 
also: 
U z 
Es ist somit 
f 
-u\ 
-« Xi ('+*%dx: 
di 
2«(1 + a 2 )’ 
arc tg co — arc tg 0 n 
1 + * 5 
2« 
4«' 
d. h. 
co 
'* 0 
e UX dx