297 Quadratur (analytische).
(analytische).
Quadratur (analytische), 297 Quadratur (analytische).
ddirend, erhält man:
Sei « = re*\ so ist tegrals .
Xd
Jn _ Yn j e ux dx
r « v. • 0
2 1 sich zurückführen Hessen, so wäre noch
XIc
±_\r e Z u beweisen, dass dieser Ausdruck auch
uirlich und eindeu-
usgesetzt, dass die
Es ist dies, so wie das Integral links, w hhhch gegen einen bestimmten Werth
eine continuirliche Function von r/, wel- conver g irt , da im entgegengesetzten Falle
che für hie gegebenen Schlüsse ungenau wären.
_ '/=0 ,<x> a
1!n . . In / e a dx ist die Function
in ■- übergeht, somit ist also das ./ f.
' 1 stets positiv, ausserdem aber
von y, wo s eine
¡deutet. Nach dem
Aber:
positive Zeichen zu nehmen. 2
Da alle in diesem Abschnitte gege- e ax <e~~ c<x
benen Resultate auf den Werth des In- und da:
—hi
/ >
r 00 „—ax , 1 ,—«co —aL _ 1 „—cik
' +s
he links steht, zu
•' k « «
ist, ein Ausdruck, der mit wachsendem oder
k verschwindet, so ist unsere Voraus- —2a
u — «e
und dritten Th eil
wo « eine Constante ist. Man bestimmt
40) Dritte Methode zur Be- dieselbe, indem man a gleich Null setzt,
rechnung bestimmter Integrale. Es wird dann
Ein Mittel zur Berechnung bestimm- a p )ei . auc }j.
ter Integrale gewährt oft die Auflösung * * ’
von Differenzialgleichungen. Wir führen M _ C e — x *dx =Wn
ein Beispiel davon an, wobei das der J 0
Theorie der Differenzialgleichungen An- a j s0 .
gehörige, welches vorkommt, keinerlei ‘ ' a i
ngens von selbst
Sei gegeben: / e ' dx — ^/ne . XIII
a 2 7 0
p<X3 —x —— Der Weg, der zu diesem Resultat führt,
u— 1 e dx, setzt also die Kenntniss eines speciellen
XII
differenziirt man nach a, so kommt: ®ei der eben angeführten Methode ist
dies durchgehends der Fall und ist sie
daher besonders für Fälle geeignet, wo
du Z* 00 e x 2 das Integral eine reelle Constante ent-
~ (<y * COS ßydy
da *J x 2 hält und der Werth desselben gesucht
werden soll, im Falle, wo diese Con-
la
, . « ... , staute complex wird. Da es für diese
setzt man iccits — für x, so kommt: Betrachtungen aber eine allgemeine Me
thode gibt, von der sogleich die Rede
du P^ _j2_.iL. sein soll, unterlassen wir, von der hier
~da~~~* I e 2m. behandelten weitere Anwendungen zu
® machen, und zeigen nur noch, dass sich
Es ist also die Differenzialgleichung: auch das in XIII gegebene Resultat auf
d u dem Wege einfacher Substitution ergibt.
— — —2m Es j gt jj^mlich:
ier Werth von
aufzulösen, welche die Gestalt annimmt: /*+ c0 ¡i* ,
du ! e J dy=y n ;
— =-2da, J
u
wir setzen
also integrirt; a
lgw= — 2« + const. V~ x x >
