r„ e ^ ^*( 1+ ä) =,/ ”
x ‘4'4
x 2
in Partialbrüche zerlegen. Ist nämlich
« eine der Wurzeln, so hat man:
fl*) = A
ein, so verwandelt sich, ganz wie oben, f /(®) K
das zweite Integral in ein dem ersten wo die andern Glieder rechts x —« nicht
als Nenner haben. (Siehe den Artikel:
Unbestimmte Coefficienten.) Multiplicirt
man also beide Seiten der Gleichung mit
Quadratur (analytische).
Quadratur (analytische)
also
denken, so ist
# = 0 für y =—oo,
x — + oo für y — + co,
also:
dy = \ 1+ £) dx -
Da ferner sich
x =
ergibt, ein Ausdruck, dessen Radikal wir
uns mit dem positiven Zeichen versehen oder:
f ,.x —x
[J
fr[J
Pührt man die Substitution
dx +
völlig identisches, woraus sich
2 ai
c\ /-»CO %
2e 2a f e x dx*
0
XIV
also das Resultat XIII ergibt.
41) Vierte Methode.
Diese Methode ist von allen die ein-
«, so ist:
{x—C()f{x)_
,,{x) -
für den Fall, wo
«~0
ist, da dann alle andern Glieder ver
fasste. Sie besteht eben nur dann, das schwinden . In diesem Falle werden aber
unbestimmte integra! zu berechnen, und links ( x - a ) fU) und q{x) beide gleich
die lalle aufzusuchen, wo die Speciah- Null, und man erhält durch Differen-
sirung der Grenzen das Resultat beson- ziiren des Zählers und Ne nners :
ders vereinlacht.
Beispiel. Es sollen f{x) und y(x)
ganze rationale Functionen sein, jedoch '/ C ft )
fix) vom niederen Grade als q(x) und Seien nun zwei conjugirte Wurzeln un-
habe die Gleichung serer Gleichung y (#) = {):
rj(x)~0 a = p + qi und a’ — p — qi,
nur imaginäre und ungleiche Wurzeln, und die Zähler der zugehörigen Partial-
so lässt sich der Ausdruck
f(x) . brüche:
L ' -x-x immer
A A'
x—a ~ x—a’
V(x)
P+Qi
A = P+Qi, A' = P—Qi,
_ + P—Qi _ ^Pjx—p) — qQ
x—p—qi x—p + qi (x—pY + q 2 ’
und integrirt man diesen Ausdruck in den Grenzen —r und rh, so kommt:
,rh
r (— + -A_) dx=p iog rfi*zö!±i!l
./ r \x — cc x—«v L {r+pY +q 2 J
•— 2 Q [ar c tg (rh — p) + ar c tg (r -f- p)J
oder wenn man r gleich co setzt, wird dies Resultat;
2P\gh—2Qn.
+ rh fix)
Es wird also:
—r »(*)
dx- 2 lg h2P—2nSQ,
