Quadratur (analytische). 300 Quadratur (analytische). 
wenn man in dem ersten Integral der erhalten: 
rechten Seite die Grenzen vertauscht, und 
—x für x setzt, so wird dasselbe dem 
zweiten Integrale völlig gleich, also: 
CO 
/ 
dx 
f 
2 m 
dx 
1 + xq 
dx — 
1+ .!•'■ 
2n sin 
2 m + 1 
2 n 
XV a 
f{-x) = f(x), 
also f(x) eine grade Function ist. 
fügen auch hinzu, dass immer: 
Wir 
/ 
+ 0O 
f(x)dx ~ 0, 
V 
q sin-n 
<1 
XVb 
Dies schon öfter angewandte Verfahren 
lässt sich auch in dem allgemein gülti 
gen Satze ausdrücken: 
/ +20 /-.00 
f(x) dx~2j f(x) dx, 
— oo • ' 0 
wo jetzt p und q beliebige reelle Zahlen 
sein können, vorausgesetzt, dass p < q 
ist. Untersuchen wir noch das Integral: 
/ 
+ CO 
2 m 
2 n 
dx, 
so enthält die Function x' —1 im Nen 
ner zunächst zwei reelle Factoren x + 1 
und x—1, ein Fall, den wir in unserer 
allgemeinen Betrachtung ausgeschlossen 
hatten. Setzen wir daher: 
L | ß | f 0*0 
-1 £+1 ff (x)' 
ln 
-1 
f{-x)- —f(x), 
also f(x) eine ungrade Function ist. Es 
wird dann, wenn man das Integral in 
zwei andre theilt, deren Grenzen —oo 
und 0, so wie 0 und + oo sind, im 
erstem —x für x setzt, das erste Inte 
gral der entgegengesetzte Werth des 
z weiten. 
In XV a setzten wir noch: 
x — z (< , 2« (in +1) = p, 2an = q, 
wo also p immer kleiner als q ist, und 
so hat die Function <f(x) keinen reellen 
Factor mehr. 
Uebrigens ergibt sich « und ß aus der 
Formel: 
d (x 2n - 1) 
1 2m 
_ 2 n x 
•2 n-\-1 
dx 
für den Fall, wo x bezüglich gleich +1 
oder gleich —1 ist, ganz wie dies oben 
gezeigt wurde. Also: 
1 a 1 
(t ~2 n ß ~ 2«’ 
es ist also: 
/ 
+ 00 
2 in 
2 n 
dx 
-1 
kJ 
+ 00 dx 
-oo 
r + cc dx rf 
2 11 J cr) ® + l ,J 'i 
/>) 
q(x) 
dx. 
Wir beschäftigen uns zunächst mit dem wo s jeden der Werthe 1, 2, 3***«—1 
dritten Integral, welches ein specieller annimmt, die übrigen Wurzeln gibt der 
Fall des Ausdrucks XIV ist, man hat Ausdruck p — qi, wo p und q immer 
nämlich, da p + qi eine imaginäre Wur- einem der obigen Werthe entsprechen, 
zel der Gleichung Die Werthe s = 0 und s — n sind hier 
ausgeschlossen, weil sie zu den reellen 
-1=0 Wurzeln führen. Es ist nun: 
ist: 
2 ii 
2 n 
• 1 
p + qi - e 
m 
q\x) 
1 
2n 
2in — 2n+ 1 
also 
r+Qi =t 
/ ..m 
(im — 2ii+l) — 
(2m+ 1) 
1_ 
2 n