Quadratur (analytische). 
302 Quadratur (analytische). 
i + r 
-rn 
/' dx —ne ' dir /’ 
/ ./ —•*/=+“• 
1 — n re 1 n 
1 — r 
ferner ist: 
-1 - - r 
setzt: 
Die Summe des ersten und dritten Integrals ist: 
, r f . t 
lg-+Ig- = lg- 
s r s 
Das mittlere gibt, wenn man 
= — 1 + r (cos tf + i sin f/) = — 1 — re 'J 
-1 +r ~\~7l 
l-f-r a: + 1 
/* dx r —rie dir, —. 
J i+r = 7 ^- L=+wr - 
Es nimmt also der Ausdruck, von dem 
wir sprechen 
r ’ +GO 
-00 *+ !’ 
da der von den unendlichen Grenzen 
herrührende Theil: lg— 
lg — immer ver- 
f 
h ln „ t 2m+l 
„ i-* aiw -gr» 
■y* 
Und hier ist nur eine Ausbiegung vor 
handen, die aber auf einer ganz belie 
bigen Seite der Axe liegt. 
Wie oben erhält man noch, wenn p 
kleiner als q ist: 
00 t-'d* 71 
f 
schwindet, folgende Werthe an: Null 
wenn beide Ausweichungen auf derselben 
Seite der Ahscissenaxe liegen, ~2in wenn 
das erste auf der positiven Seite, das zweite 
auf der negativen Seite liegt, -f 2in 
wenn das Entgegengesetzte der Fall 
ist, und man hat, wenn man schliess 
lich noch den Nenner x' n —1 mit ent 
gegengesetztem Vorzeichen nimmt: 
r x dx n n . 
J rr^ =+2 ^ ,XVI 
wo q eine der Zahlen — 1, +1 oder 
Null bedeutet. In keinem Falle darf das 
Integral nur über der Ahscissenaxe er 
strecktwerden, sondern es finden immer 
zwei Ausbiegungen nach der positiven 
oder negativen Seite statt, welche belie 
big sind, aber so klein, dass sie keine 
zweite Wurzel der Gleichung 
ln i n 
x —1 = 0 
umfassen. Nimmt man q gleich Null, 
also beide Ausbiegungen nach derselben 
Seite, so lässt sich unser Integral in 2 
andere gleiche theilen, da es eine grade 
Function enthält, und man hat: 
oo o... 
l—x^ 
. V 
q v 
XVI b 
XVI a 
wo aber immer eine Ausbiegung statt 
findet. Diese wichtige Betrachtung fehlt 
gewöhnlich bei der Entwicklung dieses 
Integrals in den Lehrbüchern. Sie ist 
aber unerlässlich, da sonst lediglich ein 
falsches Resultat sich ergibt. 
42) Fünfte Methode. 
Die hier zu gebende Methode der Dar 
stellung bestimmter Integrale ist die 
schönste und allgemeinste aller vorhan 
denen, sie rührt von Cauchy her, und 
stützt sich auf die Theorie der Mehrdeu 
tigkeit der Integrale, welche wir in Ab 
schnitt XIII gegeben haben. 
Während alle bis jetzt gegebenen Me 
thoden indirect sind, lehrt diese unter 
gewissen Bedingungen auf directe Weise 
den Werth der bestimmten Integrale aufzu 
finden, zunächst für solche Integrale, deren 
Grenzen — co und -f- co oder 0 und 2/r 
sind; indess lassen sich durch zweckmässige 
Transformation diese Grenzen leicht bei 
allen bestimmten Integralen hersteilen. 
Sei f(x) eine Function, die innerhalb 
eines gewissen geschlossenen Umfanges 
eindeutig, aber nicht immer continuirlich 
ist. Umgeben wir dann jeden der Dis- 
continuitätspunkte mit einer beliebig klei 
nen geschlossenen Curve, etwa mit einem 
Kreis, dessen Radius ins Unendliche ab 
nimmt, so ist nach dem Abschnitt 18