Quadrate (Methode der kleinsten). 24 Quadrate (Methode der kleinsten). 
Qu acirat e (Metí 
seien A, B, C ... die so gefundenen 
Werthe, man kann dann allgemein setzen; 
— rt, b~B-\-ß, c~ C+y . . ., 
wo A,B,C die gefundenen Zahlemverthe 
und a,ß,y. . ■ im Allgemeinen nur klein 
sind. Betrachtet man nun re, ß, y als die 
zu bestimmenden Constanten, so ist 
F(a,b,c.. ,u,v,ic...)~F(A,B, C.. .u,v,w...) 
vF <)F _ dF 
+ 
dÄ a+ 'dB‘ 
+ — r + - 
wo F in den partiellen Differenzialquo 
tienten immer die Funktion F(A,B,C ... 
u,v,w .. .) bedeutet, und wo die hohem 
mit « s , nß.. . multiplicirten Glieder der 
Taylorschen Reihe wegen ihrer Kleinheit 
ausser Betracht kommen. In diesen 
Gleichungen ist a,ß,y... aber linear ent 
halten, und das oben entwickelte Ver 
fahren hat statt, Sollte man die sich so 
ergehenden Werthe von a,ß,y... nicht 
für hinreichend genau halten, so setze 
man: 
A+a = A’, +B+IJ = B' • • •, 
nehme 
a = A' + a r , b = B'+ß f , c-C'A-y’ ■ • • 
und wiederhole das obige Verfahren, wo 
dann a’,ß',y’ die neuen viel kleinern Un 
bekannten sind, mit denen man die 
Werthe der früheren verbessert. 
Der einfachste mögliche Fall ist der, wo 
F— a 
ist, also 
« = 1, v — w— . . . =0, 
in diesem Falle ist also nur der wahr 
scheinlichste Werth einer Constante a 
durch Beobachtungen, deren Anzahl m 
sei, zu finden. Die Gleichung 
alu 2 -\-h2uv-{-c2uw-\- • • . ~luC 
verwandelt sich hierbei in 
am — 2C, a 
C l + C 2 + . . • +Cm 
m 
wo die Ausdrücke C die beobachteten 
Werthe von F oder a sind, d. h. der 
wahrscheinlichste Werth einer durch Be 
obachtungen zu bestimmenden Constante 
ist die arithmetische Mitte aller Beob 
achtungen. Von diesem Satze ging, wie 
wir sahen, Gauss aus, und leitete von 
ihm den Ausdruck für die Wahrschein 
lichkeit des jedesmaligen Fehlers ah. 
Geht man von der Hagenschcn Annahme 
aus, so lässt sich dagegen der Satz von 
der arithmetischen Mitte erweisen. 
6) Die durch die Methode der klein 
sten Quadrate erhaltenen Werthe von 
a,b, c . . . sind, obgleich die wahrschein 
lichsten, doch nie völlig genau. Hätte 
man dergleichen Werthe, so könnte man 
auch die Beobachtungen rectificiren, und 
die Fehler derselben F l — C l =x l u. s. w. 
bestimmen, woraus sich dann auch die 
Präcision n und der wahrscheinliche Fehler 
0,4769360 v 
p = - — ergeben wurde. Da aber 
a 
die genauen Werthe von a, b, c. . . nicht 
bekannt sind, so kann es sich nur darum 
handeln, von den letztgenannten Grössen 
die wahrscheinlichsten Werthe zu ermit 
teln, und nach der Wahrscheinlichkeit zu 
fragen, welche stattfinde, dass zwischen 
diesen wahrscheinlichsten und den wahren 
Werthen eine gewisse gegebene Differenz 
stattfinde. 
Diese Betrachtungen sollen hier noch 
ausgeführt werden. 
Der Werth der Wahrscheinlichkeit, dass 
irgend eine Verbindung der Constanten 
a, b, c stattfinde, war nach 2) 
L — kSIcladhdc .. ., 
wo 
1 CO 
k •' —co*^ -co" —co 
ildadbdc . . , 
ferner 
Unter rt, b, c ... sind die durch die Me 
thode der kleinstenQuadrate gegebnen, also 
die wahrscheinlichsten Werthe dieser Con 
stante jetzt zu verstehen; nnter x t x 3 .. . 
die denselben entsprechenden Fehler, das 
Maximum von £1 sei ferner jetzt durch 
M bezeichnet. Mögen nun diese Con 
stanten sich um sehr kleine Werthe da, 
db, de ... ändern, so dass die Fehler 
ebenfalls um dx t , d'x 2 , dx 3 . . . wachsen. 
Das Gesetz dieser Aenderung von 
a,b,c ... ist ein beliebiges. 
Da nunmehr rt, b,c . .. constant, da, db, 
de . . . als veränderlich betrachtet werden, 
so ist für da: 
(/(«+ da) — dda, 
ddx für dx u. s. w. zu setzen, also: 
iaddx~s. m —ct 2 2(x-\- dx)* —a^JZbxß- dx) 2 — u 1 2x J 
Wir) e =“ e 
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgend eine abweiche, ist gegeben durch Gleichung: 
Verbindung von Werthen um da, db, 1-kFlddaddbddc,.. 
de . . . von den gefundenen a, b, c . .. wo 
d. h. 
Wir können 
dass die Functio 
von rt, b, c . . . s 
ja immer auf < 
liess. Es ist da 
Funktion von ( 
z. B.: 
dx — UL 
2(x + 
Da aber 2x 2 ei 
da 
war, so hat mai 
Lzzkme-“ 2 
wo die dx durc 
|dx t ~u l da-\ 
| cTac 2 —u 2 da-\ 
gegeben sind, u 
M = hcod 
denn sie ist gleici 
scheinlichkeitcn, 
während die Zu 
möglichen Wert! 
nehmen können 
2dx 2 = da 2 2u 
Dieser Ausdrucl 
Funktion zweite: 
da, db, de, und 
von Quadraten i 
Artikel Quadrat} 
2dx 2 = (e .da 
v 1,1 1 
wo die 6 leicht 
2uv u. s. w. en 
so erhält man: