Quadratur (analytische). 310 Quadratur (analytische). 
für positives x dieser Ausdruck ebenfalls reell. Für negatives x aber ist: 
, s a—l a—1 nia 
i—y) =—y e ■ 
wenn 
x = —y 
gesetzt wird. Es zerfällt also unser Integral in: 
.+00 „ , z»+CO 
r a ~ l / \ / r 
I x (f (x) dx = I 
■' —CO ' 
c(—1 
y (x) dx 
^ ^| 
V y(-y)dy cos 7ia 
0 
^»+oo ^ 
— */ y a q (—y)dy sin na. 
•' 0 
Nehmen wir nur den letzten Theil und schreiben darin 
7 i(y) für «f(-y) 
so kommt: 
•co 
/ 
*7 f 
/ 1 71 (y) A y = ■ 
2 n P = * 
— 2 n 
sm ap pzz * 
s-p\ p 
s +Pa '- n \ H «* in [(«—^ 
+K p COS [(<*— 
XXYa 
Sei noch gegeben: 
F(x) = lg (1—Axi), 
Wurzeln, also q(x) nur Unendlichkeiten 
ersten Grades, eine Voraussetzung, die 
übrigens nicht nothwendig ist, jedoch 
ein Ausdruck, der ebenfalls für reelles aas Resultat vereinfacht. 
x nicht unendlich wird, ausser für Es wird dann s = p = 1. Die zweite 
x — ^ryc. Wir denken uns aber y, (x) Summe besteht aus einem Gliede, und 
so beschaffen, dass für diese Werthe ma n hat, wenn 
dennoch F(x) • y(x) verschwindet. Setzen , , ■ 
wir der Einfachheit wegen voraus: die a ~ 
1 x/.i{k-\-ui) — H-\-Ki 
Gleichung: —t— = 0 hätte nur einfache . , 
y {x) gesetzt wird: 
/ +CO 
lg(1—Axi) v .(x)dx= —2n 2(K— Hi)\g{\-\-pA-\-\Ai). XXVI 
— 00 
Die Allgemeinheit der hier gegebenen Mittelpunkt des Kreises, r sein Radius, 
Formeln ist ohne Weiteres ersichtlich, und allgemein x = p-|-yi ist. 
und können aus ihrer Specialisirung viele 
Resultate abgeleitet werden. 
44) Fortsetzung des Obigen. 
p — v cos y, q-r smy, 
ui 
x — i-e 1 
und die Integration findet in den Gren- 
In Abschnitt42) gingen wir von einem zen (f= Q un a q=2n statt, also: 
Umfange aus, der ein unendlich grosses 
Rechteck bildete. Beziehen wir statt 
dessen in der Formel: 
/ •in • • 
rif(re'J l ) e't dtf = 2ni2 Res f{u ) 
n “ 
/ 
> p — n 
f(x)dx = 2ni 2 Res f{a ) 
p = 1 P 
das erste Integral auf einen Kreis mit 
beliebigem Radius. Die rechte Seite um- 
oder wenn man 
uf{u)-xp{u) 
setzt: 
Deneoigem itaams. JLiie recnte Seite um- . / V'( f O v 
fasst dann alle Discontinuitäten « der / y(re^*) d<j =2TrXResl — j. 
Function f(x) innerhalb dieses Kreises. ' 0 P 
Vorausgesetzt wird noch, dass auf der Ist ip(u) eine im ganzen Kreise conti- 
Feripherie selbst keine Discontinuität nuirliche Function, so findet nur eine 
stattfinde. Es ist nun, wenn der An- Discontinuität für « =: 0 statt, wo der 
fangspunkt der Coordinaten zugleich der Nenner verschwindet; dann ist wegen: 
(£)