Quadratur (analytische). 312 Quadratur (analytische). 
wo die Function in beiden Integralen 
rechts zu ergänzen ist. Setzt man im 
letzten Integral 
q=2n—», 
so wird dasselbe: 
—2r cos .9 +r 2 ) d.9, 
also gleich dem ersten, und 
also: 
/ 71 
lg(l—2r cos <f -fr 3 ) d(f — 0 
0 
oder = 2 t lg r, XXVIII b 
je nachdem r nicht grösser oder grösser 
als Eins ist. 
Sei endlich noch: 
. / \ az 
V' \ Z J — e , 
ein Ausdruck, der für endliches z nicht 
discontinuirlich wird, so hat man, wenn 
ar — b 
gesetzt wird: 
r 71 e h (cosr f +isintf ) d(f _^ XXIX 
f n 
also: 
b 
e 
b 
e 
cos ^cos (6 sin (/■) dy — 2n, 
XXIX a 
cos T’gin (b sin cf ) df = 0. XXIXb 
45) Sechste Methode. (Ueber- 
gang vom Reellen zum Imagi 
nären.) 
Diese Methode, welche ebenfalls eine 
leichte Anwendung der in Abschnitt 11 
und 12 enthaltenen Prinzipien ist, hat 
folgenden Zweck. Es kommt häufig vor, 
dass für bestimmte Werthe von Con- 
stanten entwickelte Integrale für allge 
meinere Werthe dieser Constanten zu 
bestimmen sind, und oft kann dies leicht 
durch Transformationen oder Auflösung 
von Differenzialgleichungen geschehen. 
So war das im Abschnitt 40 durch beide 
Methoden abgeleitete Integral 
zunächst für den Fall bekannt, wo a — 0 
war. Diese Methoden aber finden zu 
weilen in der Anwendung Schwierigkeit, 
wenn man statt einer reellen Constante 
eine imaginäre einführt; es ändert sich 
dann nämlich bei der Substitution in der 
Regel auch der Integrationsweg. Dies war 
z. B. bei der Entwicklung der Formel III 
des Abschnitts 38 der Fall, welche mit 
hin eine Untersuchung nöthig machte, ob 
und welchen Einfluss diese Aenderung 
auf das Resultat hat. 
Statt diese Untersuchung aber in jedem 
Falle anzustellcn, gibt Satz I des Ab 
schnitts 12 ein für allemal eine sehr 
allgemeine Formel, welche von Cauchy 
zuerst gebraucht worden ist, und als die 
eigentliche Methode des Uebergangs vom 
Reellen zum Imaginären bezeichnet wer 
den kann. 
Der bezeichnete Satz sagt, dass: 
y)d x +f i( x >y)dy], 
wo y eine beliebig zu bestimmende Func 
tion von x ist, immer gleich Null ist 
für irgend einen geschlossenen Umfang 
auf dem und innerhalb desselben sich 
kein mehrfacher oder Discontinuitätspunkt 
befindet, falls die beiden Functionen f 
und die Gleichung: 
dy dx 
erfüllen. 
Ist nun z eine beliebige Function von 
x und y, so ist offenbar: 
wie man leicht durch Differenziiren sieht, 
also was auch c/ (z) sei, falls nur für das 
gegebene Flächenstück die Continuitäts- 
und Eindeutigkeitsbedingung erfüllt wird: 
f i®]ji d * + Ty i »]=°- 
Der beliebig zu bestimmende Umfang 
sei nun ein Rechteck, dessen eine Seite 
AB der Abscissenaxe, die andre AC aber 
der Ordinatenaxe parallel sei, und wo 
den Endpunkten der ersten Seite A B 
(Figur 33) die Werthe 
x~a y — b, 
x = a l y — b, 
dem Punkte C aber die Werthe: 
x = a, y = b t 
entsprechen.