Quadratur (analytische). 
Fig. 38. 
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Quadratur (analytische). 
Es zerfällt dann unser Integral in 4 
andere, -welche sich über die Seiten AB, 
BD, DC, CA erstrecken. 
Im ersten Integrale ist: 
x zwischen den Grenzen a und a l 
zu nehmen, 
y constant gleich b. 
Im zweiten Integrale ist: 
x constant gleich a v 
y in den Grenzen b und b v zu 
nehmen. 
Im dritten ist: 
x zwischen den Grenzen « 1 und a 
zu nehmen, 
y constant gleich b v 
Im vierten ist: 
x constant gleich a, 
y zwischen den Grenzen b t und b 
zu nehmen. 
Man erhält, wenn 
z=xp{x, y) 
gesetzt wird: 
f a '/ (•/'*> b ) — fr h - dx + f* ^ 1 y (0« i, y) yS) dy 
— f 1 y(»M, h i) (lx - f 1 1 'f (‘M y) d y ~ °- 
Um in diesen Ausdruck das Imaginäre gleicher Art aber theils mit reellen und 
einzuführen, braucht man nur zu setzen: theils mit imaginären Constanten erge- 
z = i/,(x y) = u+vi hen, wie die folgenden Beispiele zeigen 
, ’ , ’ . werden, 
wo u und v stets reell und Functionen Beispiel 1 Wir setzen 
von x und y sein sollen. Es wird dann 
für jede Wahl der Functionen u und v ? A V) — x ~^y l i 
sich eine Eelation zwischen Integralen so wird der Ausdruck A offenbar: 
n a i f a i pb l 
I (f {x-\-bi)dx — / y{x-\-b,i) dx = i! y(a-f-yi) dy— if y(« t +yi) dy 
•' a •' a b J b ■ 
oder, wenn man a—h~0 setzt und a v , b l mit a, b vertauscht; 
ct m-% b b 
y 0*0 dx— / Ij(x+bi)dx = i / y (yi) dy — if y(a+yi)dy. (B) 
0 0 * 0 J 0 
Also wenn 
gesetzt wird: 
f 
J 0 
dx — 
y(s) = e 
«! =00 
—{x+biy 
f b o 
Nimmt man nur den reellen Theil, so ist, da / e J dy wesentlich reell ist, 
•' 0 
und 
/ 
l / — 
dx - \Y 71 war : 
il/n = e h ' 2 f 
f 
GO 
— X‘ 
e 
0 
cos 2 bxdx~ 
cos 2bxdx oder 
-b' 
eine Formel, welche mit XII a des Abschnitts 39 ühereinstimmt.