Quadratur (analytische). 317 Quadratur (analytische).
wo i ein echter positiver Bruch ist; also die Grenzen dieses Ausdrucks ergeben
sich, wenn man f = 0 und i = 1 setzt;
s + l
</:
n— I
r \ r /
Ist nun n ein echter Bruch, so wird Für w —0 gibt XXXIIb die FormelIII
„ , ,. ^ ., , „ ,, , vu~l des Abschnitts 38
offenbar die Reihe der Zahlen: (sn) ,
[(s-l-l)7r] immer abnehmen, und C s * n rx dx = ~, wenn r positiv ist,
da die Zeichen der Integrale wechseln, J 0 x z
so bilden dieselben eine Reihe immer
abnehmender Glieder mit wechselnden unt
Vorzeichen, eine solche Reihe aber hat ^.oo g j n rx n
nach einem Satze von den Reihen (siehe / —-—dx———, wenn r negativ ist,
den Artikel: Reihen) immer eine end- 0 x
liehe Summe, also unser Integral dann Setzen wir noch die zweite Formel
einen endlichen Werth. Ist n grösser XXXII n —x = (y+c()‘ 1 , so kommt:
als 1, so findet dies nicht mehr statt. i ^
Das Integral XXXIIa kann natürlich 2 C e r (y+ K ) 2 ^y — ——(1-pj) r{£),
ganz ähnlichen Betrachtungen unterwor- ./ _ K 1^2
fen werden, nur sind, damit in den
Theilintegralen die Zeichen des Cosinus c ‘ a
sich nicht ändern, statt der Grenzen
S7t (s+1) 7T , . .n , ..n
—, - zu nehmen (s+1)-, (s+4)—•
r r A, r ~ r
* =cos T +ism T = ÿ=(l + »)
’4 1 4
Die Formeln XXXII sind also dann ; gt g s j s t a b el -
immer und nur dann gültig, wenn n
zwischen Null und Eins liegt. Die hier ^, co e — x _
gegebenen Betrachtungen rühren von r(i) — / —-j=rdx—\n
Dirichlet her. Uebrigens ist in diesen ’ J \x
Formeln immer vorausgesetzt, dass r
positiv sei.
r + CO e r '<y'- + 2a y'>dy = i
' — a
(vergleiche Abschnitt 39, Formel Xb).
-rcri ( 1+ i)
XXXIII
hierin noch —« für u gesetzt:
/ +CO
r/
ri (y 2 — 2 ay)
dy:
‘(1+0
und indem man im letzten Resultate die Grenzen umkehrt und —y für y setzt:
f
ri{y*+2((y) d y_ e ,(C 1 (1 +i)
Dieser Ausdruck zu XXXIII addirt gibt:
'-oo
I
ri(t/ 2 + '2«ÿ)
dy:
— ra 2 i /, . _ In
e ('+*) yg’
XXXIII a
Wenn wir die Formel XXXI
00
/
Oi .
-rxe n— 1
-n9i
dx :
-r(n)
mit der zur Entwicklung dieser Formel nöthigen andern hier gegebenen:
