Quadratur (analytische). 318 Quadratur (analytische). 
/ 
I 
1 dx ~ ■—V (n) 
und der Formel XXXII: 
/ 
71. 
1l~l 
-rxi n I 
dx — - 
F(n) 
vergleichen, so bemerken wir, dass der 
Ausdruck: 
/; 
— (XX n—I 
e x 
dx 
in den Fällen einen bestimmten Werth 
angibt, 1) wo a eine reelle positive Zahl, 
2) wo « eine complexe Zahl ist, deren 
reeller Theil positiv ist, 3) wo « eine 
rein imaginäre Zahl ist. Während aber 
in den beiden ersten Fällen die Formeln 
für jeden positiven Werth von n gelten, 
ist die dritte nur für positive Werthe 
von n, welche kleiner als 1 sind, gültig. 
46) An die letzten Formeln wollen 
wir jetzt noch einige besonders instruc- 
tive Entwicklungen knüpfen. 
Zunächst schreiben wir die beiden For 
meln XXXII unter der Gestalt: 
/ 
-dx = — ie 2 r(l— ß)r K “ 
1) 
/ 
71. 
-((zrl 
dx = -f-ie 2 r(l—a)r r< *, 
2) 
wo 1—n gleich a gesetzt wurde, also « 
eine positive zwischen 0 und 1 liegende 
Zahl ist. 
Im Folgenden werden öfter negative 
und imaginäre Grössen zu einer positiven 
Potenz a erhoben werden, welche ein 
Bruch ist. Um Mehrdeutigkeit zu ver 
meiden, denken wir, dass dem complexen 
Ausdrucke u jedesmal die Form qc^ 1 
gegeben werde, wo der Modul p also 
jedenfalls positiv ist. # kann jeden 
Werth von —7i bis -pn haben, also 
muss positiv oder negativ, jedenfalls 
aber kleiner als n oder höchstens gleich 
dieser Grösse sein. Es ist dann: 
u <x _ e (2sTt + &)ui 
wo s jede beliebige ganze Zahl sein kann. 
Wir aber nehmen ein für allemal an, 
dass im Exponenten der absolut kleinste 
Arcus, also der, wo s = 0 ist, stehe, so 
dass 
u a O ed 
u =q e 
ist, und & zwischen n und +ti liegt. 
Eine Mehrdeutigkeit könnte hierbei nur 
in dem ganz bestimmten Falle stattfinden, 
wo u eine negativ reelle Zahl ist, dann 
ist nämlich: 
1 TZ i 
U—QB , 
also 
u = p e— 
und beide Vorzeichen geben einen Arcus, 
dessen absoluter Werth derselbe ist. In 
diesem Fall müssten also beide Vorzei 
chen genommen werden. 
Ist jetzt x reell und positiv, so hat 
man: 
also: 
71 . 
, -xc « ö‘ <n 
(xi) —x e* ; 
somit erhalten wir aus Formel 1) und 
2), wenn wir im Nenner (xi) cc für x a 
schreiben: 
/ 
0 (*») C 
-dx — — i F (1 — ct) r 
«-1 
3) 
./ 
dx Tz ie anl U(1 — a) r (< 1 . 
4) 
In die Integrale 1), 2), 3), 4) aber setzen wir x+hi statt x, Werthe für die na 
türlich die Ausdrücke rechts zunächst keine Gültigkeit haben. Indess können