Quadratur (analytische). 325 Quadratur (analytische). 
wo a unendlich klein ist, und u für x—« gesetzt, wurde; auf diesem Wege 
ändert sich F(«) nicht, vorausgesetzt, dass F(m) in der Nähe von u~x con- 
tinuirlich bleibt. Findet dies nicht statt, so muss der Fall besonders unter 
sucht werden. 
+ « . , 
„ r sin ku 
Statt / 
J « 
du kann man auch nehmen: 
— s 
-fco 
00 
0 
— 00 
(Siehe Formel III.) Denn ganz wie eben gezeigt wurde, ergibt sich, dass auf der 
nicht zwischen — a und -fa liegenden Strecke unser Integral verschwindet. 
Man hat also: 
A) 
—co •' 0 
wo k — co gesetzt worden ist. 
Vertauscht man noch q mit — o, so ergibt sich : 
-fco r* -f 0 
/ cos (>(x—<x) dg da = F (x) 
—co •' —co 
und dies Resultat zu A) addirt gibt: 
B) 
Die Formeln A und B heissen nach ihrem Erfinder die Fourrierschen Integrale. 
x muss natürlich hierbei reell sein. 
Springt F{x) für irgend einen Werth von x plötzlich von einem Werth zum 
andern, ist also F{x—t) von F(«-fa) verschieden, wenn a unendlich klein ist, 
so hat man: 
x -f € 
0 
J x — a 
x—f 
oder, indem man wieder x—a — u setzt; 
0 
0 
x—s 
0 
■« 
Während der Integration sind wegen des unendlichen kleinen f, die Grössen 
F(x—«), F(.r-f m) als constant zu betrachten, wenn u nur den Werth s nicht 
überschreitet; man erhält also: 
o e 
Es stellen also, wenn x discontinuirlich und B ist noch die Bemerkung nöthig, 
wird, die Formeln A und B nicht mehr dass in dem Ausdruck links nur die- 
F(r), sondern die arithmetische Mitte jenigen Werthe von F(rr) Vorkommen, 
der beiden Werthe F(x—a) und F(x-\-a) die x unendlich nahe sind, also die Iden- 
dar. tität ganz abgesehen von dem weitern 
Zum völligen Verständnisse der in der Verlauf der Function F(x) stattfindet. 
Analysis höchst wichtigen Formeln A Man kann derselben also in beliebigen