Quadratur (analytische). 326 Quadratur (analytische). 
C) 
Strecken, vorausgesetzt, dass in dersel- als fx ist, dagegen gleich q(x), wenn x 
hen x reell ist, auch beliebige Werthe grösser als /u ist, so verschwindet links 
gehen. im Ausdrucke B der ganze Theil des 
Nimmt man z. B. an, F(x) sei immer Integrals nach «, der unter ¡x liegt, und 
gleich Null, wenn x analytisch kleiner man hat: 
^.+co «-j-co 
K~ I I <f («) cos o (x—a) d(i da — r/ (x) oder = 0, 
71 ¡X ‘ CO 
je nachdem x grösser oder kleiner als ¡u ist. 
Setzt man ferner 
f{x) = 'j{x) 
wenn x positiv ist, und 
f(x) = '/(—x) 
wenn x negativ ist, so hat man in A links: 
1 r° l /'+ 00 r +oo 
— I I '/(—«)cosp(a;—ct)d(jda-) / / </(«)cosp(a;—a)dqda 
n J —oo J 0 71 f 0 J 0 
oder wenn man im ersten Integral « für —a setzt, 
2 /' x /•* 
— I I <y («) cos _ x cos Qa da da er rj (x) oder — <f{—x), D) 
n J o 0 
je nachdem o: positiv oder negativ ist. 
Soll aber 
F{x) = — y(—x) 
für negatives x sein, so erhält man ebenso: 
— / / y (a) sin qx sin qadq da —<f{x) oder =—</(—x). E) 
Die Anwendung dieser Ausdrücke in Unter denselben Bedingungen gibt For- 
der Theorie der bestimmten Integrale mel E: 
besteht darin, dass man den Functionen 
F(j<), (f {x) solche Werthe gibt, das eine p dysingx n —hx 
der beiden Integrationen ausgeführt wer- !*• ~ 
den kann. Man erhält dann links ein 0 
einfaches Integral, rechts seinen Werth, Q( j er 
Beispiel. Setze man in Formel D: n kx 
-ha 
= ¥ 6 
so ist: 
</(«) = e " 
j' <f («) cos Qa da — 
k 2 +(J 2 ’ 
also: 
/ 
dQ COS QX _ 71 —kx 
k 2 + Q r ~2k C 
wenn x positiv ist, oder 
7i kx 
~ 2k e ’ 
wenn x negativ ist. 
“ 2 
Diese Resultate sind uns schon bekannt. 
Man sieht leicht, welche grosse Menge 
von andern Formeln aus den Fouirier- 
schen Integralen gefunden werden können. 
Wir geben indess nur noch ein Beispiel, 
welches zeigen soll, wie man der Func 
tion beliebig Discontinuitäten geben kann. 
Sei in Formel A) F(x') = 0 für jeden 
Werth von x, der kleiner als —1 und 
grösser als + 1 ist, dagegen F(x) = 1, 
wenn x zwischen —1 und +1 liegt. Die 
Formel A) gibt dann: 
+ 1 CO 
— j* j' cos q (x—a) do da. 
— 1 0