alytische). 
Quadratur (analytische). 327 Quadratur (analytische). 
ch (j{x), wenn x 
erschwindet links 
ganze Theil des 
ater fA. liegt, und 
C) 
)cosp(a;—u)dqda 
x), 
D) 
-oc). E) 
gungen gibt Eor- 
schon bekannt, 
grosse Menge 
den Fouirier- 
werden können, 
och ein Beispiel, 
man der Fune 
sten geben kann. 
#) = 0 für jeden 
ler als —1 und 
?egen F(x) = 1, 
+ 1 liegt. Die 
-«) da da. 
Wir integriren nach « und erhalten: 
+ 1 
j' cos q (x—a)da = 
sinp(x + l)— sinp(a:—i)_2cosp x sinp 
also ; 
od 
ir cosgssinejg =1 oder =0> 
n J 9 
je nachdem x innerhalb oder ausserhalb aus eine grosse Menge von Resultaten 
der Grenzen +1 und —1 liegt. Auf gewannen, 
den Grenzen x — 1 und x — - 1 ergibt Dem Ausdrucke; 
sich als Werth die arithmetische Mitte 
von 1 und 0, d, h. weil hier Discon- 
tinuität eintritt. Dies Resultat ist be- 
x^ '(1 — x)^ ^dx 
© 
2) 
reits in Formel IV enthalten, und da- , . , 
selbst als discontinuirlicher Factor be- kann man au " k eme aßdre Form S eben ’ 
zeichnet. 
49) Theorie der Eulerschcn In 
tegrale. 
wenn man setzt 
y 
x = —j—, 1— dx ~ J 
1+2/ 1+2/ 
'(l+2/) 2 ’ 
für x - 0 ist dann y — 0, für x = 1 ist 
Es gibt aber auch bestimmte Integrale, y — cc, also : 
die, ohne sich immer auf schon be- co « _ 1 
kannte Functionen zurückführen zu las- P y dy _ / p \ 
sen, dennoch von grosser Wichtigkeit / « + «“ \p/‘ 
(1 + 2/) 
3) 
sind. Dazu gehören namentlich die von 0 
Euler zuerst betrachteten, und nach ihm Vertauscht man in Formel 2) noch x 
benannten Integrale: mit i_- s0 erhält man: 
C xP *(1 — x) 1 1 l dx, 
J 0 
4) 
/ 
(7)=/ .’-M-‘/-'*=(7). 
welches wir als erstes Eulersches Inte- 0 
gral bezeichnen, und ihm das Symbol also: 
(j) S eben - Das zweite Eulersche In- (f) - (i) 
tegral ist das schon von uns betrachtete: und der Ausdruck ist symmetrisch in 
^ „ . Bezug auf diese beiden Grössen. 
- x x n ~ i dx = r(n), 1) . A , , , . , (p\ . . 
q Die Ausdrücke F(n) und sm< l 
welches wir in den Abschnitten 45) und aber noch in Bezug auf die Grenzen 
46) als Constante einführten, und dar- ihrer Continuität zu prüfen. Es ist: 
tv \ f'k — x n — 1 ; 1 C 00 —oo n —l / 
r(n) — I ex dx -f- I ex dx. 
j 0 J k 
Für den ersten Theil kann man setzen e~ x <1-2-3 ---s x— s 
, ,,« ’ 
ZÜL. wo n ein echter Bruch ist, vor- wie g ross auch s sei. Aus diesem Grunde 
n ist also: 
ausgesetzt, dass n positiv ist, und dieser ^ x n s _ i 
Ausdruck ist endlich. In dem zweiten x‘ e <1*2 ---sx 
Theile ist: Man denke sich nun s so gross, dass 
— x 1 n—s—1 negativ wird, dann ist: 
p ~ - ■' "" r 5 
.CO 
1+X+ 1-2 + 1-2-3 + 
also 
/ 
— X n— 1 
dx<n 
f 
n—s—1 
dx