Quadratur (analytische). 333 Quadratur (analytische). 
Es war aber 
und sonach: 
m=Vrr 
2 2 4 2 6 2 • • • 4o 2 
1 2 3 2 5 5 • • • (2 ? -l)V 
Es ist dies das sogenannte Wallis’sche Product, welches einen Werth für n gibt. 
Wegen 7) nimmt Formel 5) die Gestalt an: 
G) 
(rt + ¿) («4-¿4-1) 
(a+Ä + e -l) 1 • 2 • 3 • ■ ■ (g-1) 
8) 
«(« + !) («4-2) • • • (a+ ? —1) ¿(¿ + 1) (¿4-2) • • • (¿+p- 1) 
Die Formel 7 ist diejenige, deren wir cultät benutzt werden, 
zu Anfang dieses Abschnitts erwähnten; Wenn die Formel 7 auch in dieser 
sie gibt noch einen Sinn, wenn a nega- Gestalt nicht zur wirklichen Berechnung 
tiv, jedoch keine ganze Zahl, auch nicht von r{a) geeignet ist, so lässt sich mit- 
Null (in welchen Fällen ein Factor des tels derselben doch eine Reihe für 
Nenners unendlich ist) oder complex ist, lg r(«) leicht ableiten, 
und kann daher als Definition der Fa- Es ist nämlich; 
lgr{a) - lg 1-lg «4-lg 2—lg («4-1)4- • • • 4-lg(p)—lg(«4-£>—1)4-(«—l)lg?* 
Der unendlich grosse Ausdruck («—l)lgp fällt bei zweimaligem Differenziiren 
weg, und man hat: 
d" 1 lg r{ci) _ 1 
+ 
da 2 « 2 ' («4-1)-' + 2) 2 T ' " T (a 4- (*-l) 2 ’ 
Die Reihe rechts ist immer convergent, wenn a keine ganze negative Zahl und 
nicht Null ist, mithin findet dies auch bei ihrem ersten und ihrem zweiten Inte 
gral statt. Man erhält, wenn man in den Grenzen 1 und a integrirt: 
d - m = M) + + (*-srs) + •'' + c ' 
d lg ra 
4- 
4-; 
9) 
da 
10) 
wo C gleich dem Werthe von 
da 
für a = l ist. 
Integrirt man nochmals in den Grenzen 1 und a, so kommt, da 
lgr(l) = 0 
ist: 
lgr(«) = («—1-lga) 4- + *’* ’ + C («-1)- 
Um C zu bestimmen, bemerke man, dass 
r(2) = l, lgr(2) = 0 
ist, also indem man a~2 setzt: 
0 = l-lg2+i-lg|4-i-lgi4- • •• 4-C 11) 
und indem man diesen Ausdruck, nachdem man ihn mit (« — 1) multiplicirt hat, 
von dem Vorigen abzieht: 
lg r(a)= [(«—l)lg2—Iga] 4- [(<*-!) lg | - lg 4- [(«-l)lg^-'+ **• 
m~ co 
in — co r- i r , -1-. 
=,f. [(-O 'S (1+-)-W+~ )]• 
12) 
Diese Reihe, welche immer, den be- lung von lgr(l4-a) nach ganzen positi- 
sprochenen Fall ausgenommen, conver- ven Potenzen von a gewinnen, die je- 
girt, kann also sowohl als Definition, doch nur so lange convergirt, als a zwi- 
als auch zur Berechnung des Ausdruckes sehen +1 und —1 liegt. 
r(«) selbst für negative Werthe von a Wenn man nämlich die Formel 9 
benutzt werden. {n — 2)mal differenziirt, so erhält man: 
Es lässt sich aber auch eine Entwick- 
“ IgU(l4-o) _ (—IX 
1-2 
da 
L-r 
4 
(«4-1)" (a 4- 2/ 
4-' 
13)