Quadratur (analytische). 
335 Quadratur (analytische). 
Man erhält hieraus: Aber dann gewähren die Elemente 
— C=0,5772156649015328 , . bei " e Mittel, ™ zu bestim , men - 
Z, B. für w—1 = 100000 ist eine loga- 
-C heisst auch die Eulersche Constante. rithmische Berechnung, d. h. die Addi- 
Es ist übrigens klar, dass für ganze t j on c | er ersten 100000 Logarithmen un- 
Werthe von die Formel 10) die Ge- ausführbar, übrigens da sich die Fehler 
der einzelnen Logarithmen addiren, wäre 
es auf diesem Wege unmöglich auch nur 
einige richtige Decimalstellen zu erhalten, 
wenn man nicht Logarithmentafeln von 
sehr viel Bruchstellen anwenden wollte. 
Es ergibt sich aber aus diesen Betrach 
tungen ein Werth, dem sich F{n) mit 
Der Ausdruck T(n)~ 1» 2 -3* ••(«—1) wachsendem n immer mehr derart nähert, 
für ganzes n kommt in verschiedenen dass der Quotient beider Grössen schliess- 
Anwendungen der Analysis häufig vor, lieh gleich Eins gesetzt werden kann, 
z. B. in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Derselbe soll hier noch bestimmt werden, 
und oft ist hier n sehr gross zu nehmen. Wenn wir x~n-\-if setzen, so ist; 
r(w + l)= f e X x n dx— r e n e ^ (w+y) W dy. 
./ 0 J —n 
Das Argument e (n+y) W hat ein Maximum und fällt von demselben 
nach beiden Seiten ins Unendliche. Denn der Ausdruck: 
stalt einer endlichen Reihe: 
»b-w+i+H - +A 
da a — 1 
annimmt. 
51) Berechnung des Ausdrucks 
für r(n), wenn n sehr gross ist. 
de 
- (w+y) 
(*+vT 
d 'f 
ist so lange negativ, als y positiv ist 
(vorausgesetzt, dass n wächst) und po 
sitiv, wenn cp negativ, also wird die 
Function für negatives y> immer wach 
sen, für positives (fi immer abnehmen, 
n— 1 
d. h. 
t = - 
;Vr 
n + iy. 
Während der Integration, wo y. von —n 
und es findet für y=0, d. h. für x = n 1 /m 
ein Maximum statt, von welchem Werthe bis + oo geht, wird t von — ^^ y — 
aus e x r n nach ¿eiden Seiten ins Un 
endliche fällt. Das Argument aber wird 
an beiden Grenzen Null. 
Bestimmen wir die Grösse t durch die 
Gleichung : 
—t 1 n 
bis +co gehen. Es ist nun; 
nt 
y=—i=- 
so ist: 
e ^ (M+y>) W = e 
VI—’ 
n+y 
J 
n lg n—t 2 = —y +w lg (ro+ y ) 
oder wenn man für lg (n + y) seinen 
Werth: 
, . 1 y 2 1 
sitzt, wo lg(w + y) nach der Taylorschen 
Reihe entwickelt, aber mit dem dritten 
Gliedc abgebrochen ist, s also einen unc ^ das Integral: 
echten Bruch bedeutet (siehe den Artikel 
Reihen), so ergibt sich: 
, 2 
-+nf(l—i) 
— n ff i 
2(w+ér/) 2 ’ 
fe = 2(/| +(1 -4 
egral : 
T 
J 0 
L IV j 
x dx 
-W « + 
Ì/2/ 
+ 00 
verwandelt sich in: 
+ °° 
die 
- V 
+ 
ilf 
dte~ t \l- i ) t ,