nalytische). 
Quadratur (analytische). 339 Quadratur (analytische). 
= 1 
= 1 
[a 2 —c 2 ) . . . 
(A 2 — c 2 ) . . • 
(c 2 -A 2 ) . . ., 
-a 2 ) (y 2 —a 2 ) • . • 
c 2 ) • . • 
-A 2 ) (r 2 ~b l ) • • • 
[b 2 -c 2 ) • • • 
-C 2 ) (y 2 —c 2 ) . . . 
y^b*) . . . 
kommender Fall ist 
werden. 
en Grössen ¡x zwi- 
i, »/ kleiner als b 
muss man sich b 
llich klein denken. 
s =«y* 
e positive Grossen, 
sei ferner 
b<m<c, n<h<c, 
he Grösse, so ist: 
Z 2 — r 2 
g stellt eine Kugel 
dritte einen Kegel 
ie Ausdrücke für 
a; 
i 2 » 2 
c 2 
2 )(A 2 —w 2 ) 
-6 2 ) 
2 )(c 2 —n 2 ) 
-A 2 ) 
Auch diese Coordinaten führen den Setzen wir noch; 
Namen elliptische im engem Sinne. Es nt n 
sind diejenigen der ganzen Gattung, wel 
che am häufigsten angewandt werden. 
V) Es lassen sich die eben gebrauch 
ten elliptischen Coordinaten auch unter 
eine Form bringen, die als hesondern 
Fall die Polarcoordinaten enthält. Zu 
dem Ende setzen wir in den letzten drei 
Formeln: 
n — b sin y und b — ac, 
wo also y eine neue Variable, a eine 
neue Constante ist, die kleiner als 1 
sein wird. 
- = cos d 2 , 
c l (1—a 2 ) 
so wird, da c 2 a 2 =A 2 kleiner als m 2 
und m 2 kleiner als c 2 ist, der Nenner 
dieses Bruchs grösser als der Zähler 
sein, und d sich immer bestimmen lassen. 
Auch hat man dann: 
yn. 2 O ^ fl 2 
sin d 2 = 
Unsere drei Gleichungen werden dann: 
ritt Sin II 
x = ——.— , 
y 
y 2 (m 2 — n 2 c 2 ) cos y 2 
c 2 (l—a 2 ) 
r 2 (c 2 —m 2 ) (1 — ri 2 sin y 2 ) 
c 2 (1—a 2 ) 
c 2 (l —a 2 ) 
m 2 = c 2 (l—a 2 ) sin d 2 + c 2 ß 2 
oder: 
m" ~ c 2 [l—(1—« 2 ) cos d 2 ]. 
Es ergibt sich dann: 
x~r sin y Yl—(1—a 2 ) cos d 2 
y~r cos y sin d 
z = y]/l — « 2 siny 2 cos d. 
Es ist ersichtlich, dass der besondere 
Fall, wo a = 0 ist, die Polarcoordinaten 
gibt. 
53) Transformation mehrfacher Integrale, wenn alle Grenzen 
c on s tant sind. 
Es sei gegeben das Integral: 
/ +CO p +CO 
j F{ax + a'y, ßx+ß'y) dx dy = U. 
— 00 J —CO 
Es ist dasselbe durch eine Transformation zu vereinfachen. 
Wir setzen: Setzt man dagegen 
ux+a'y ~u, ßx+ß r y = v. x = r cosd, y = r sind-, 
Es wird dann (Abschnitt 36) so 
A = ((ß r ßa r A=r> 
also constant, während x und v von , ... , 
-00 bis +00 wachsen, werden in glei- Wahrenda von -co bis +co geht, und 
icr Weise n und v auch zunehmen. dasselbe mit J geschieht, wird das stets 
eher 
Also : 
positive r alle Werthe von 0 bis +oo 
+ oo +oo annehmen, d aber alle Werthe von 0 
= f r F{u, v)du du. bis 2/1 erhalte n, also: 
•j CO CO 
-00 —00 
i '171 /^00 
U = r r F[r(«cos d + c/ sind), r(ß cos d + /S' sin d)] rdrdd- 
0 J 0 
und setzt man auch u — r cosd, v—r sind: 
pln pCC 
¿\U — / / F(r cos d, r sind)ri/r(Zd, 
• ß 0 J 0 
also: 
.2tt +oo 
/ 171 f» 
J F(r cos d, r sin d) rdr r/d 
0 J 0 
• +CO 
/ 271 p 
I F[r (« cos d + n' sin d), r (ß cos d+ß f sin d)] rdr d&. 
0 J 0 
22*