Quadratur (analytische). 340 Quadratur (analytische). 
Setzen wir z. B. 
/.■(*, y) = e- r f(?-, f : ). 
r 2 = a; 2 +i/ 2 
ist. Man setzt dann auch: 
w 2 = (« cos 9 + «' sin 9) 2 + (ß cos 9+ß' sin 9) 
und erhält: 
,271 /^00 
ff 
/ ■¿tt ^»co cos 9+ß' sin il ß cos ,9-+/}' sin 9^ 
0 .7 o ^ « ’ » 7 1 
1 flrt r oo 
— — y J /‘(cos 9, sin 9) e rdr d&, 
oder da 
.co -l 
—nc , 1 
re dr ~ — 
tc 3 
/ «J _ r 
re dr = l, und / 
0 J 0 
ß — Bi ° *) g = »■ sin») dt. 
Diese Formel wird oft unter der Voraussetzung angewandt, dass 
«*+/9*=l, ß'*+0' a = l, ßß' + /S/S' = 0 
ist. Ausdrücke, welche gelten, wenn #, y und ebenso wie m, v Systeme recht 
winkliger Coordinaten sind. 
Es ist dann; 
A = aß f — ßa' — 1 
io 3 = sin 9 2 + cos 9 2 =1, 
also: 
/ 2 TT pln 
f[a cos9 + ß'sin 9, ß cos 9+^S'sin 9] ¿9 = / f( cos 9, sin 9) d9. 
0 o 
Diese Betrachtungen lassen sich auch ausdehnen auf das dreifache Integral: 
/ +co ~ + co p~f-co 
I I F(ax+cdy + a"z,ßx+ß r y+ß"z,yx-\-y'y+y"z’)dxdy dz. 
00 J —CO J CO 
Wir setzen nämlich zunächst: 
u=ax+tt , y+a"t, v = ßx+ß'y+ß"z, w — yx+y r y-\-y"z, 
J r." 
A = 
ß, ß , ß 
und ganz wie oben hat man; 
2 y-. + co r, +co * + co 
F = — / / / F(m, r, ic) du de die. 
A.y —oo J — oo*' —oo 
Wir setzen, indem wir Polarcoordina- A = ^ wird von —1 bis +1 gehen, 
ten einführen: r . . , w . . . a 
was erreicht wird, wenn man Winkel &• 
X = kr, y — fxr, z — vr, von Null bis n nimmt, die Ausdrücke 
wo: [x und r gehn ebenfalls beide von — 1 
T 
A = cos9, fx — sin9 cos y } v = sin 9 sinrj> bis +1; da aber sin ^ und sin 9 
ist. Es wird dann, während x, y, z von stets positiv ist, so muss sin </> auch ne- 
—30 bis +co gehen, r alle Werthe von gativ werden können, und folglich von 
0 bis +oo annehmen. 0 bis 2n gehen. Man hat demnach: