Quadratur (analytische). 341 Quadratur (analytische). 
nalytische). 
dfh 
J, sin ,9) e r rdrd(h, 
P(cos <9, sin #) d.9. 
1t, dass 
i, v Systeme recht- 
s .9-, sin .9) di9. 
iche Integral: 
f y'*/ + y"z)dx dy dz. 
-Hy"*» 
v. 
-1 bis +1 gehen, 
enn man Winkel 9- 
mt, die Ausdrücke 
alls beide von — 1 
T 
(t. — , und sin «9 
' sin 9’ 
nuss sin (p auch ne- 
, und folglich von 
in hat demnach: 
V = r ff F[r{aX + a'/x+a”y), r(ßX +ß’ pt + ß"v"), 
j 0 •' 0-' 0 
^ ^-»2t£ £%7l CO 
r(yk + y'pi + y"y)r‘ 2 sin&drd&dij =— / / I F{kr, fxr, yr)r^ sin9dr dfrdrp. 
0 *' O*' 0 
Setzt man jetzt: 
F{x,y,z)-\e~ r f(~, V -, J-) 
und berücksichtigt die Gleichung: 
r 00 2 —r, 1 
£ I re dr — 1, 
j 0 
so ergibt sich: 
/ ^ n C U Ä((X+cdpi+n"v ßX + ß'/u+ß”y yX + y’pi + y"v~\ sin.9-dbdfp 
0 J 0' IL » r* » ’ » J ^ 
ln f%n 
^ r* *Tl £%Ti 
— — I / f{X, /x, V) sin 9 dit dtp, 
A./ 0 J 0 
wo der Abkürzung wegen gesetzt wurde; 
ic = («A+ct'/x+ a"y) 2 + (ßX+ß'pi J rß n y) 2 + (yX + y'pi+y n v) 1 . 
Führen wir noch diejenigen Kelationen zwischen den Constanten ein, deren 
geometrische Bedeutung ist, dass x, y, z und u, v, ic Systeme rechtwinkliger 
Coordinaten vorstellen: 
cc 2 +ß*+y 2 =l, a' 2 +ß'*+y' 2 ~l, 
tt "*+ß"*+y"* = 1, «'«"+ß'ß”+y'y" = 0, 
a"a+ß''ß + y"y = 0, aa'+ßß'+yy f = 0, 
aus welchen folgt; 
A = l, w = l, 
so hat man: 
/ ln f*lt 
I f[<xX-\-a f pi+a ,, y, ßX-\-ß r fx-\-ß ,r v, yX-\-y r fx-\-y n y\ sin# </# dtp 
0^0 
/ 2 7t 7T 
/ /*(A, (M, n) sin 9- d9- dp. 
0 J 0 
54) Es sollen hier noch die Ausdrücke zur Transformation der Integrale 
1 fff 
in elliptische Coordinaten gebildet werden. 
Zu dem Ende nehmen wir die am Schlüsse 
von Abschnitt 52) gebildeten einfachem 
Formeln, in welchen wir noch setzen: 
\(rn 2 —b 2 ) = h, y(6 J — n 2 ) — k, 
y(c 5 —m 2 ) — l, y(c a — n 2 )=is; 
die entsprechenden Formeln nehmen dann 
auch die Gestalt an: 
rmn rhh rls 
dr 
s rn-+- «Ht— 
dx ' dm 
dm 
bc 
dr 
s mr4-mn-r- 
dx dn 
bc 
■» y~ 
¿y( c 2_6>)’ - c y(c*_6*) 
und man hat: 
dn bc ’ 
dy 1/k ,,dr\ 
dn ¿y(c J — 6 2 ) \ dn h )