III! 
-, 
i!| I 
Quadrate (Methode der kleinsten). 28 Quadrate (Methode der kleinsten). 
2A 
«-[-cf« ein beliebiger Werth der Präcision. 
Es ist dann, wie oben gezeigt wurde: 
als wahrscheinlichsten Werth der Präci 
sion. Es wird dann, da 
0,4769860 
1= rèVe- 
-n 2 2x 2 
\VnJ 
der wahrscheinlichste Fehler war, jetzt 
o = 0,4769360 | 22 ' x *.. 
n 
{(u+da)dx)H e — („ + J a )iSx* 
Vn i 
+ cf«(2«+cf«)A.r 5 
Man kann nun ganz denselben Weg 
einschlagen, der in Abschnitt 6) in Be- 
zug auf die wahrscheinlichsten Werthe 
von o, 6, c ... eingeschlagen wurde. 
Wir verstehen also jetzt unter « immer 
und wegen der Gleichung a — 
i 
f 
21 x 2 
2« 2 
also; 
den Ausdruck 
2 Ix 2 
also die wahr- 
S2 = a» 
/cf« 1 cf« 2 \ 
y + !hYe~\^~ + 2~^~ ) 
scheinlichste Präcision,unter cuden entspre 
chenden grössten Werth von S2, endlich sei zu setzen. Man hat aber: 
1 4- 
cf«\ /cf« 1 cf« 2 , 1 cf« 3 \ 
— = ~ TT 2 “ + IT • • •) 
also auch; 
cf« / 1 cf« \ 
n II — — f-... I 
Ll-Ü)ß a ' d « / 
Die Wahrscheinlichkeit eines gegebenen 
Werthes der Präcision «+cf«, ist dann, 
wenn man ganz wie in 6) verfährt: 
S-lüdJa, 
wo 
j — I SldJtc 
i rD 
also da dieser Fehler positiv und nega 
tiv sein kann, so ist die Wahrscheinlich 
keit = dass die wahre Präcision sich 
in den Grenzen: 
0,4769360\ / 0,4769360\ 
- I und «( 1+- 
zu setzen ist. Es ergiebt sich aber 
mittels des Werthes von Si: 
Vn ; Vn 
befinde. Denn nach der Definition des 
wahrscheinlichen Fehlers, war ja dessen 
Wahrscheinlichkeit 4- Diese beiden Aus 
drücke heissen daher wahrscheinliche Gren 
zen der Präcision. Eben so sind: 
s=i M e 
dJn 
0,4769360 und 0,4769360 
1-——-— 1+ • 
V’- 
y; 
oder wenn wir annebmen, cf« wäre im °d® r wenn man die höheren Potenzen von 
Vergleich mit « nur sehr klein: 
cf« 2 
iS = lujß c/ef« 
Dieser Ausdruck mit dem schon früher 
— a 2 x~ 
e 
-pz vernachlässigen kann: 
Vn 
0,4769360\ 
fr 
und 
/ 0,4769360\ 
t r + vir) 
betrachteten 
Vn 
- i 1; die wahrscheinlichen Grenzen des wahr- 
e scheinlichen Beobachtungsfehlers. 
Wahrscheinlichkeit des Beobachtungsfeh 
lers darstellte, verglichen, zeigt, dass 
Vn 
Es spielt in diesen Betrachtungen der 
Ausdruck 
.¿V—= 
y n 
der Werth der Präcision für unsere Grösse 
« ist; der wahrscheinliche Fehler in 
dieser Bestimmung ist dann : 
0,4769360 . « 
Vz 
eine Rolle , sein Quadrat ist die arith 
metische Mitte aus den Quadraten aller 
Beobachtungsfehler. Man nennt daher 
auch diesen Ausdruck den mittleren Feh 
ler; es ist dann; 
Quadrate (Metl 
i 
2l{x) 
P = 0,4769360 
Da das Quadrat 
die arithmetische 
drate ist, so ist 
lichste aller Fel 
8) Um den n 
den, müsste m* 
2 
also 
Ix 2 ist bekann 
uach 6) aber wa 
— « 2 (V 
kw 6 
Es ist hier s 
ten genommen, 
jetzt die Anzahl 
zeigt, zu untersc 
Da nun die 1 
Vorkommens vo 
Obigen gleich 
« —« 2 A 2 j 
dk l , 
zu setzen, und i 
A(.r+ Ja 
Es war aber: 
l(x 
(»- 
Dies ist der wal 
mittleren Fehler: 
Constanten, n 
Ix 2 die Summe 
Fehlerquadrate; 
scheinlichsten V 
« = - 
und des wahrscl 
Q = 
9) Ein einfac 
thode entnehmei 
von Theodor W