;ialytisclie). 
Quadratur (analytische). 343 Quadratur (analytische). 
i: 
dx dz 
5n 5m 
5y dz ’ 
dn dm 
1/Xt+Yt+Z 7 , 
X 
(/ dz 
n dm 
x dz 
m dn 
x_dy_ 
n dm 
ch 
f, 
welche von krum- 
ntegration nach r 
u, v (Abschnitt 52) 
g =Ya*-b')> Ä=v(i*-c*), •=v(^«-ä»), 
/i = y(c 2 —^u 2 ), l=y{b 2 — * 2 ), m = y(c 2 —v 5 ) 
zu setzen ist. 
Wie oben erhält man: 
,r =.//Y i+ (|y+(sf) s * * =77 tx'+y+z. 
5y 5z 5z 5y _ dz 5# 5# 5s ^ _ 5a; 5y 5y 
' X ‘~d9 dtp 5,9- 5qp’ 5,9- 5y 59 5y,’ 59 5<p 59 5y) 
5z 
und die Ausdrücke 
dx dy 
59’ 59’ 
lassen sich ganz wie vorhin berechnen. Be- 
5r dr n . , . 
trachten wir jedoch nur den Fall, wo r constant ist, also = t—' = 0 wird, ein 
O xT 0(fi 
Fall, der bekanntlich der Oberfläche einer Kugel entspricht. Es ergibt sich dann: 
rr (1—a 2 ) cos9 2 + « 2 sin a 2 
W=r 2 / / , —- , - = d(f d». 
./,/ y 1—(1 —a 2 ) sin 9 2 y 1 — a 2 cos y 2 
Aus dem letzten Ausdrucke lässt sich eine Beziehung herleiten, welche von Le- 
gendre herrührt. 
Sei 
V-*“2 
71 
und führen wir beide Integrationen von W in den Grenzen 0 und ^ aus: 
W 
1—(1—a 2 ) sin 9 2 —« 2 sin I 2 
/ 2 * o J- — V-L — y bin r 
J Yl—(1 — ft 2 ) sin9 2 
y^l — a 2 sin A 2 
dA d9, 
0 0 
wo r = l gesetzt wurde. 
Es war nun ursprünglich 
w =fi 
wie man auch a bestimmt. Setzt man 
für 
für 
y = 0 und z = 0, so wird 9 = 0, A = 2 
TT 
y=0, »=1, 
9 = |. A = 0 
9 = 0, A= 2 - 
y = 1, z = 0, 
Da aber 
r 2 = a; 2 -fi/ 2 +z 2 =1 
ist, so sind 1 und 0 bezüglich der grösste und kleinste Werth, den y und z an 
nehmen können. Die Grenzen 0 und 1 entsprechen also den Grenzen 0 und 
für 9 und A, was auch die beliebige Constante a sei. Aus diesen Betrachtungen 
folgt, dass unser Integral von a ganz unabhängig ist. Setzt man somit a-1, 
so kommt: 
n 
,71 ~ 
w 
-ff 
cos A dA d9 = ö* 
0 0 
(Es ergibt sich dies allerdings schon aus der geometrischen Betrachtung, dass w 
den achten Theil einer Kugelfläche vorstellt.) 
toi 3