23* 
Quadratur ebener Figuren. 
355 Quadratur ebener Figuren. 
b:a=P: 360 
oder: 
sollte a dagegen in Secunden ausgedrückt 
sein, so ist auch der Winkel von 360° 
in Secunden auszudrücken, und man hat: 
360-60.60 = 1296000, 
L — a F 
1296000’ 
wo a der in Secunden ausgedrückte Cen- 
triwinkel ist. 
Es bleibt jetzt noch übrig, eine Be 
ziehung zwischen der Zahl n und der 
Peripherie P eines beliebigen Kreises zu 
ermitteln. 
Fig. 35. 
Sei AD (Fig. 35.) ein beliebiger Kreis 
bogen, in welchen die Sehnen AB, BC, 
CD gezeichnet sind; man ziehe die zu 
gehörigen Halbmesser OA, OB, OC, OD, 
und durch einen beliebigen Punkt a von 
OA lege man einen concentrischen Kreis 
bogen ad, der von den übrigen Halb 
messern bezüglich in b und c geschnitten 
wird; zieht man noch die Sehnen ab, 
bc, cd, so sind offenbar die gleichschenk 
ligen Dreiecke: 
OAB und Oab, OBC und Obe, 
OCD und Oed 
entsprechend ähnlich, da sie den Winkel 
an der Spitze gemein haben, also: 
ab ; AB — aO ; .40 
bc: BC—bO : BO ~ aO : AO 
cd : CD ~ cO : CO = aO : AO 
und demgemäss: 
ab + bc+cd: AB-f-BCß- CD — aO: AO. 
Nehmen wir jetzt an AO sei = r, aO 
aber gleich der Einheit, so dass wir dem 
zweiten Kreise die Einheit als Radius 
geben, denken wir uns ferner die Sehnen 
verkleinert und vermehrt, so dass die 
Summe derselben sich den bezüglichen 
Bogen nähert. Nehmen wir endlich an, 
diese Bogen seien die halben Peripherien 
der bezüglichen Kreise, so wird offenbar 
nach dem oben Gesagten: 
ab-\-bc-\-cd = n 
Aß+BC+CD = £ 
u 
werden, und wir erhalten: 
d, h. 
1) P=2nr. 
Diesen Ausdruck von P in die oben ge 
fundenen Formeln einsetzend, erhalten 
wir: 
2) K-nr\ 
q\ _nra _ nra 
^180- 618000 
und wenn wir diese Werthe von b noch 
in die Formel: 
einsetzen: 
nr 2 c( nr 2 a 
} ~ 36Ö“ = 1296000’ 
wo gesetzt wurde: 
der Radius gleich r, 
die Peripherie gleich P, 
der Flächeninhalt des Kreises gleich K, 
ein beliebiger Bogen gleich b, 
sein zugehöriger Centriwinkel 
in Graden gleich «, 
in Secunden gleich a 
und die constante Zahl n den Flächen 
inhalt eines Kreises mit Radius 1, oder 
die halbe Peripherie dieses Kreises dar 
stellt. 
Man kann aber auch statt den Centri 
winkel in Graden auszudrücken, dafür 
die Länge des zugehörigen Bogens ein 
führen, dessen Radius gleich Eins ist. 
Sei derselbe gleich ß, so hat man, wenn 
man in Formel 3) 1 für r, ß für b setzt: 
3a) ßz=- 
na 
'180’ 
also : 
3b) b = rß. 
Die Formel 4) aber gibt: 
4a) S=ir*ß-, 
jeden gegebenen Winkel « kann man 
sich so vermöge der Formel 3a) in Bo- 
genmaass ß darstellen. 
Wir wollen mit diesen Formeln noch 
die für Sehne und Segmente verbinden,