Quadratur ebener Figuren.
362 Quadratur ebener Figuren.
Es ist:
1 1
^“l+l
2+9
2+25
2+49
2 +81
2 +
Den Beweis dieser Entwicklung enthält
der Artikel: Kettenbrüche. Der Aus
druck ist darum wichtig, weil sich aus
ihm folgern lässt, dass n nicht durch
Auflösen einer quadratischen Gleichung
zu erhalten sei, was den Beweis für die
Unmöglichkeit einer Quadratur des Krei
ses im engem Sinne gibt.
Man kann aber auch den Ausdruck
n=3,14159265 . . .
in einen Kettenbruch im engem Sinne,
d. h. in einen solchen verwandeln, wo
alle Theilzähler gleich 1 sind, man er
hält dann Näherungsbrüche für n , und
nach den Eigenschaften der Kettenbrüche
sind dies immer die genauesten Annä
herungen , die sich finden lassen, wenn
man nicht gleichzeitig Zähler und Nen
ner vergrössern will.
Es ist
71 = 3 + 1
f+_r
15 + 1
! + J_
288 + 1
1 +
Dieser Entwicklung geht allerdings die
leicht aufzufindende Regelmässigkeit ab,
welche die Eulersche auszeichnet.
Die sich hieraus
rungswerthe sind;
3
22
7
Ti = 3+1
7 + j^ _ 333
15 " 106
ergebenden Nähe-
71 _ 3 + iy —
Tí-3+7+i
15+1
1
355
113
*-3+7+1
15+ 1_
1+1
288
102573
32877
14159265
100000000’
14159265
1000000001 7
99114855| 1
885145
885145
1141592651
| 885145 1
15
5307815
4425725
882090
882090j |Üo90 j X
3055
3055 |6110 9 °| 288
271Ö9~
24440
26690
J4440
2250
2250;3055|1
u. s. w., also:
u. s. w.
Die unter 2) angegebene Zahl ist die
archimedische. Ein genauerer Werth von
n ergibt sich mithin erst, wenn man dem
Zähler und Nenner 3 Ziffern gibt.
Die vierte Näherung fand Adrian Me-
tius. Sie ist sehr genau, da der nächst
genauere Werth schon 6 Bruchstellen
im Zähler, 5 im Nenner hat. In der
That findet man:
355
113
= 3,1415929
eine Zahl, die erst in der siebenten
Bruchstelle um 24 Einheiten von dem
wahren Werthe von n abweicht, und
daher wohl in allen practi sehen Rech
nungen als mit n identisch gesetzt wer
den kann.
5) Geometrische Quadratur ge
wisser von Kreisen begrenzter
Figuren.
Die folgende geometrische Quadratur
einer von Kreisbogen begrenzten Figur
gehört dem griechischen Geometer Hip-
