Quadratur ebener Figuren. 367 Quadratur ebener Figuren. 
Hiernach ist also die Parabel einer 
rein geometrischen Quadratur zugänglich, 
eine Eigenschaft, welche bereits Archi 
medes (287—212 v. Ohr.) gefunden hat. 
Gehen wir jetzt zur Ellipse über. 
Die Quadratur derselben lässt sich 
leicht auf die des Kreises zurückführen. 
Sei 
die Gleichung der Ellipse bezogen auf 
die Hauptdurchmesser. Denke man sich 
über dem grossem derselben einen Kreis 
Fig. 42. 
errichtet (Fig. 42.), dessen Gleichung sein 
wird 
Zur Abscisse x mögen die Ordinaten y 
der Ellipse, und y t des Kreises gehören- 
Es ist dann: 
d. h. jede Ordinate der Ellipse ist ^mal 
so gross, als die des Kreises, oder die 
elliptische Ordinate verhält sich zur 
Kreisordinate wie die kleine Axe zur 
grossen. 
Denkt man sich nun die grosse Axe 
in verschwindend kleine Theile p ge- 
theilt, und durch jeden Theilpunkt eine 
Ordinate gezogen, so zerfallen Kreis und 
Ellipse in Figuren, die man sich als 
verschwindend kleine Rechtecke denken 
kann, und deren Flächeninhalt für den 
Kreis /xy v , für die Ellipse /uy = ^ y l 
beträgt. Da nun die Figuren degf, hkgf 
sich aus solchen Rechtecken zusammen 
setzen, so ergibt sich, da gleiches auch 
für die Figuren fgqp, fgsr gilt: 
„Der Flächeninhalt jeder von 2 Ordina 
ten und der Ellipse begrenzten Figur 
pqed, ist gleich - mal dem Flächeninhalte 
r 
des von beiden Ordinaten abgeschnittenen 
Stückes des Kreises, welcher die grosse 
Axe zum Durchmesser hat.“ 
Es ist also auch die ganze Ellipse 
gleich - mal dem Flächeninhalte des 
r 
Kreises, und da dieser =nr 2 ist, so hat 
man für den der Ellipse: 
E — 7t(ir. 
Bestimmen wir noch den Flächen 
inhalt des Stückes hfgk. Wir setzen 
so ist 
hf — a, kg — b, 
Sei 0 der Mittelpunkt und 
of=«, og = ß, 
dann ist : 
defg = Sector deo-|- Adof— &eog, 
e 9_ = b _ 
1- Q 
df a 
— > 
also: 
sin eof 
sin dof = 
Winkel ioe = arcsin arcsin- 
„ . r* ,6 . a, 
Sector oeo — — (arcsm^——arcsin—), 
2 Q Q 
v raa rbß 
Ao°f=~, ¿\eog — - 
2p’ 
also: 
. b . a 
r arc sin r arc sin — 
(,> Q 
+ aa ~ b ß] 
und 
hkfg — ^ ^arc sin — — are sin —^ 
+ 
Q 
aa—bß 
Die arc sin sind natürlich in Bogenmass, 
also für den Radius 1 zu bestimmen. 
Soll ein Segment der Ellipse berech 
net werden, so ist vom Scheitelpunkt 
auszugehn, also a — 0, a = r zu setzen, 
und der ebengefundene Werth von hkfg 
zu verdoppeln, da die Sehne zweimal die 
Ellipse schneidet, man erhält: