Quadratur ebener Figuren. 
368 Quadratur ebener Figuren. 
„ . b , 
Segment = rp arc sin-——bß. 
Gleichung der Hyperbel y = — war, so 
Soll ein Stück gefunden werden, welches ^ ann man auc b setzen: 
vom kleinen Halbmesser und einer be 
liebigen Ordinate begrenzt ist, so hat ABCD—a sina;^-—- 
man b — r zu setzen, /3=0. Man erhält 
dann, wenn f die entsprechende Figur 
ist, da 
+ ~ + 
+ 
+ 
arcsin 1= • 
ist: 
„ rp / n . a \ au 
r =^^" c ’ m j) + T 
Es ist noch die Quadratur der Hyperbel 
zu vollziehen. Zu dem Ende nehmen 
wir die Assymptoten dieser Curve als 
Axen. Die Gleichung derselben ist dann. 
xy—a 2 
a 2 =—r-S- 
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die Potenz der Hyperbel vorstellt. Die 
Quadratur wird ähnlich wie die der Pa 
rabel bewerkstelligt. 
Sei % der Winkel beider Assymptoten, 
so ist der Flächeninhalt eines Stückes 
Fig. 48. 
Das Gesetz, welchem die v folgen, ist 
beliebig, wenn nur diese Stücke conti- 
nuirlich aus einander entstehen, und im 
mer ist 
Wir setzen: 
x l =c<x, x^ — CtX — C^X’ • *, % s — c/x, 
wo u eine der Einheit sich nähernde 
Grösse sein muss, und erhalten: 
v — x(a — 1), v v —xu(a — 1), 
v^—xu 2 (« —1) • • •, r n = xu l (cc—1), 
ABCD = a‘ l sinx (u—1) (s + 1). 
Man hat aber 
t s I 
x ~ a x, 
d. h. 
(s + 1) lg« = lg—. 
x 
Ferner setzen wir; 
oder 
lg n 
« = e & 
(lg«) 2 
« — !-)- lgß+ -^.2 
Da sich aber cc der Einheit nähert, so 
kann man die gegen das erste und zweite 
Glied verschwindenden folgenden Glieder 
dieser Reihe ganz weglassen, und erhält: 
AB CD, welches von der Curve einem 
Stücke x’—x der einen Assymptote, und 
zweien der andern Assymptote parallelen 
Linien y und y r begrenzt wird, gleich 
dem Parallelogramm mit Seiten AB=zy, 
AD=v zu setzen, wenn AD verschwin 
dend klein wird, und dies Parallelogramm 
ist gleich vy sinj. Was also auch ABCD 
für eine Grösse habe, so kann man 
immer es einer Summe solcher Paralle 
logramme identisch nehmen. Man hat 
also: 
ABCD =: smx(yy+y l r l -\-y 2 v + • . . 
+V.)’ 
wo y^ die zunächst y' vorhergehende 
Ordinate ist. Da aber vermöge der 
« = l-flg«, a—l = lg«, 
also: 
(«-l)(s + l) = lg(^), 
d. h.: 
ABCD~a 2 sin^lg^— 
Die Logarithmen, welche hierin ver 
kommen, gehören bekanntlich dem na 
türlichen Systeme an, und man hat die 
ses System daher auch das der hyper 
bolischen Logarithmen genannt. 
7) Quadratur der Cycloide. 
Man sieht, dass die hier angestellten 
Quadraturen sich alle auf dasselbe Prin 
zip der Zerlegung in unendlich kleine