Quadratur ebener Figuren. 369 Quadratur ebener Figuren. 
Parallelogramme zurückführen lassen, und Ein beliebiges Flächenstück , welches 
ebenso ersichtlich ist es, dass sich mit- von den Ordinaten y und y r , dem Ab- 
tels der Infinitesimalrechnung, aber nur scissenstücke x'—x und der Curve he- 
auf diese Weise, leicht eine algorith- begrenzt ist, zerlegt man ganz, wie dies 
mische Darstellung des ganzen Verfall- im vorigen Abschnitte geschah, in un- 
rens wird geben lassen, endlich kleine Rechtecke. Ist dies Stück 
Wir wollen daher nur noch die Qua- A > 80 man dann: 
dratur der Cycloide auf elementarem A = {x l — x)y+{x 2 —x ¡)y l -\-(x i —x a )y i + 
Wege darstellen, weil diese Aufgabe von . . . ±r x _ x 
Roherwall bereits 1684 gelöst ist, und s4_l * 
eine gewisse Berühmtheit erlangt hat. und es ist 
Die Cycloide stellt man gewöhnlich # —~,y 
dar durch ein System 2er Gleichungen : s + 1 s "b 1 
» = r(»—sin»), y = r(l-costO, ZU .r tZ w Führen wir aber für * und 
9 ~ V ihre Werthe ein, und entspricht den 
wo x und y rechtwinklige Coordinaten, Grössen x ,« der Bogen v , x',y f der 
r der Halbmesser des Erzeugungskreises, n n n 
v derjenige ahgerollte Bogen ist, wel- Bogen v f = so hat man, wenn man 
eher zu dem durch x und y bestimmten 
Punkte gehört. Für einen ganzen Zweig v i v-v 2 — v l -v i —v 2 — • • • — v 
der Cycloide ist dann v = 2n, da hier setzt, also hier diese Differenzen als 
der ganze Kreis ahgerollt sein muss. gleich betrachtet: 
A = r ' 2 [("„+!-%) ( sint 'n +l - sinü „)] (l-cost; ). 
n — 0 
Es ist aber: 
v , . — v — v 
n-{-l n 
sin V , . — sin V - 2 sin — cos 
n-f-1 n 2 
n+l + v n 
da v . , sich nur unendlich gering von v unterscheidet, kann man setzen; 
»i+1 ö ° n 
also; 
n~s 
A — r 2 2 ,'(1 — cos a ) 2 , 
a n 
u — 0 
und es ist 
(1—cosa ) a = l—2cosa -fcosa * = 4—2cos a M +4cos2a . 
x W 71 M. “ 77. 71 
Sei nun: 
so wird: 
U sin v = 2 cos a sin v -12" sin (a +v)— i2 sin(a 
n 1 ' n ' i v 
In diesen Summen heben sich alle Glieder bis auf die beiden letzten der 
ersten Summe, und bis auf die beiden ersten der letzten Summe, so dass man hat: 
U sin V — \ (sin t> s ( + sin v g — sin V—sin V _ t ) 
= £ [sin v'+sin (a'—v) — sin v—sin (a—v)]. 
Die Grössen t/, v f ~v einerseits und v, v—t' andrerseits können aber wegen des 
verschwindend kleinen v ohne weiteres identificirt werden, ebenso wie sin v mit 
v selbst; es ist also: 
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