Quadratur ebener Figuren,
371 Quadratur ebener Figuren.
Offenbar aber verschwindet das letzte
, dydx .
Glied - g gegen ydx, und man hat, wenn
F das bezeichnete Flächenstück ist:
Stehen die Axen auf einander senkrecht,
so ist
also
sin <f — 1,
Bei der Anwendung dieser Formel ist
wohl zu beachten, dass jedes Flächen
stück als positiv zu denken ist. Wenn
also das Zeichen von ydx negativ sein
sollte, so igt dasselbe zu verändern.
Man denkt sich daher den Werth vom
analytisch kleinern zum grossem Werthe,
d. h. von —oo bis +oo fortschreitend,
dann ist x t —x — dx immer positiv.
Befindet sich dann die Ordinate auf der
Seite der Abscissenaxc, wo die Ordina-
ten negativ sind, welche Seite man ge
wöhnlich als die untere bezeichnet, so
ist also —y für y zu setzen.
Habe man z. B. eine geschlossene
Curvc (Fig. 45.), in deren Innern sich
der Anfangspunkt 0 der Coordinaten
befindet, und die übrigens immer im
gleichen Sinne gekrümmt ist. Sei OX
die positive Seite der Abscissen, OY die
der Ordinalen. Das Flächenstück zer
fällt dann in vier Theile, die mit I, II,
III, IV bezeichnet sind. Seien noch
Fig. 45.
a und h die Punkte, auf welchen die
Abscissenaxe bezüglich auf der positiven
und negativen Seite die Curve schneidet,
und setzen wir
Ob — —ß, Oa — a.
Zu jedem Werthe von x werden dann
zwei Werthe von y gehören, ein positi
ver und ein negativer, wovon wir den
ersteren mit y, den letzteren mit —y f
bezeichnen.
Der Flächeninhalt der verschiedenen
Stücke ist dann nach dem Obigen:
also das ganze von der Curve begrenzte
Flächenstück:
£-% Cf.
F= / ydx /
•' 0 J 0
-ß
y’dx
0
Es sind hier rechtwinklige Coordinaten
vorausgesetzt. Ist dies nicht der Fall,
so ist das Integral nur mit sin y zu
multipliciren.
Als zweites Beispiel betrachten wir
eine ebenfalls geschlossene Curve, die
aber ganz auf einer Seite der Abscissen-
und der Coordinatenaxe liegt, etwa da,
wo beide positiv sind, ebenfalls ist
gleichmässige Krümmung der Curve vor
ausgesetzt. Sind dann (Fig. 46.) a und
e diejenigen Punkte der Curve, wo die
Fig 46-
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