Quadratur ebener Figuren. 372 Quadratur ebener Figuren. 
Ordinateli zugleich Tangenten sind, so 
ist der Flächeninhalt, welcher die Curve 
begrenzt, gleich kahgfel—hahchel und 
wenn man von den beiden Ordinatcn, 
welche zu einem Werth von x gehören, 
und die sämmtlich positiv sind, die 
grössere mit y , die kleinere mit y' be 
zeichnet, Oh — a, Ol — ß setzt, so ist: 
r P 
kahgfel = I ydx, 
J a 
•ß 
/ P 
y'dx, 
« 
und der ganze Flächeninhalt: 
F = 
/' 
f 
iy—y') dx- 
Ist die Curve nicht immer in dem 
selben Sinne gekrümmt, oder schneidet 
ein Theil oder mehrere der Ordinaten 
dieselbe mehr als zweimal, so wird man 
aus der jedesmaligen Gestalt der Curve 
auch Regeln für die Bestimmung des 
Flächeninhalts ableiten können. 
Fig. 47. 
schliesslich annehmen, dass zwei auf ein 
ander folgende 1 Veetoren r und r , 
01 s s +1 
nur sich um eine verschwindende Grösse 
von einander unterscheiden. Der mit 
Radius r g von 0 als Mittelpunkt gezo 
gene Bogen wird also jedenfalls durch 
« s gehen, und auch dem nächsten Punkt 
a , , bis auf eine verschwindende Grösse 
s+ 1 
näher rücken. Es ist dann a Oa , . 
s s-f-1 
als Kreissector zu betrachten, dessen 
Centriwinkcl 9 , . —9 - dh, und des- 
s-f l s ’ 
sen Radius r ist. Solcher Sector aber 
s 
hat den Flächeninhalt \r 2 (9- —9• .), 
- s ' s s—1'’ 
wenn wir uns 9 ••• in Bogenmass aus- 
gedrüekt denken. Also wenn wir Sector 
AOB mit S bezeichnen: 
S = lim [| (r 2 (9 1 — 9) + r v 2 (9 
+ r a 2 (9 3 -9 2 )+. 
d. h. 
9. 
■*i) 
+ r 2 (9'—9 )], 
* n v n ,v 
S = ± 
f 
r*d». 
9 
Fig. 48. 
Wählen wir statt der gradlinigen aber 
jetzt Polarcoordinaten. Sei (Fig. 47.) 
0 ein beliebiger Punkt, r der von 0 
nach einem Punkte der Curve gezogene 
Radius Vector OA, 9 der Winkel, den 
r mit der Abscissenaxe macht, so wird be 
kanntlich r immer positiv gedacht, indem 
man ,9 von 0 bis 2n wachsen lässt. Handelt 
es sich nun um die Bestimmung des 
Sectors GAB, zu dem ein beliebiges 
Curvenstück AB gehört, so kann man 
zwischen A und B beliebig viele, ein 
ander sehr nahe Punkte a 1 ,a 2 • • • an 
nehmen, und die Veetoren Ofl |=fi , 
Oa 2 = r a ... ziehen. Sei ferner OAzzr, 
OB-r\ AOX = 9, BOX = &\ Da OA 
und Oa t , 0a v und Oa 2 • « • einander 
desto näher kommen, je mehr sich die 
Punkte A, a t , a 3 nähern, so kann man 
Ist eine geschlossene Curve gegeben 
(Fig- 48 ), wo jeder Radius Vector OM, 
OiV, OB, OQ indess auf derselben Seite 
immer nur einmal die Curve schneidet, 
und der Anfangspunkt 0 sich im Innern 
der Curve befindet, so ist offenbar 9 
von 0 bis 2 a zu nehmen, so dass der 
immer positive Radius vector einen voll 
ständigen Umlauf macht. 
Es ist auch leicht einzusehn, dass man 
statt dessen die Grenzen a und 2rr+« 
nehmen kann, wo a ein beliebiger posi 
tiver oder negativer Winkel ist, denn 
auch diese Grenzen bedingen einen völ 
ligen Umlauf, Man hat also: 
/ ß ~\~2lt 
r 2 dfh. 
a