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Quadratur ebener Figuren. 373 Quadratur ebener Figuren.
Schwerer wird die Ausführung der
Quadratur des von einer geschlossenen
Curve begrenzten Flächenstücks, wenn
sich der Anfangspunkt der Coordinaten
ausserhalb derselben befindet Es wird,
dann, immer gleich gerichtete Krümmung
vorausgesetzt, jedem Werth von ,9- ein
doppelter Werth von r entsprechen. Wir
bezeichnen den grossem ÖD (Fig. 49.)
mit r, den kleinern OC mit r'. r und
r’ fallen zusammen in den Funkten A
und B, wo die Yectoren OA und OB
die Curve berühren. Bezeichnen wir die
zugehörigen d- mit ,9-, und i9 2 , so ist
offenbar:
Fig. 49.
Sector OADB—
f 2
4 / r’di»,
Sector OACB —,
und deshalb der ganze Flächeninhalt:
4 / r' 2 dfr.
a
S = 4 / r*d»
J »i
~\f
S' &
1 r f *d9- = ± f 2 (r 2 —
Selbstverständlich werden die Formeln
complicirter, wenn die Krümmung der
Curve sich ändert.
9) Quadratur verschiedener
Flächenstücke,
Wir beginnen hier nochmals mit den
von Kegelschnitten begrenzten Figuren,
einerseits um die Anwendung der Inte
gralrechnung auch hier zu zeigen, an
drerseits um uns von den Beschränkun
gen frei zu machen, welche sich durch
die Auswahl der Axen in Abschnitt 6)
ergab.
Die Gleichung eines Kegelschnitts auf
zwei conjugirte Durchmesser bezogen ist
bekanntlich
— + E! = i
Sind u und ß beide positiv, so ist die
Curve eine Ellipse, ist eine dieser Grös
sen negativ, so hat man eine Hyperbel,
und zwar entspricht einerseits positives
a und negatives ß, andrerseits negatives
k und positives ß zwei conjugirten Hy
perbeln, wenn die absoluten Werthe der
« und die der ß xxnter einander gleich
sind. Die absoluten Werthe von « und
ß stellen übrigens in jedem Falle die
Quadrate der Halbaxen vor, welche als
Coordinatenaxen gewählt sind. Sei noch
f/> der Winkel, den beide Halbmesser
mit einander machen, es ist dann:
y=l/rV(«-* 2 )
-V(« a —«).
Und das von zwei Ordinaten x f x der
Curve und der Abscissenaxe eingeschlos-
senc Flächenstück:
F=8iny _ |/— J' \{a—x 2 )dx — sm<f^—i j' ]/(ar 2 —a)dx.
Nach Tafel II, 8^ der im Artikel analytische Quadratur gegebenen Integral
tafeln ist nun:
/*V(.+te*) = ^- 4 -iI ) +|r
und nach Tafel II, 21) ist:
U
f
dx
+ Ke 2 ) yb
= irj;lg[«VÄ+V(«+Ä® a )],
wenn b positiv ist, und:
