Quadratur ebener Figuren. 374 Quadratur ebener Figuren. 
U = 1 ; arcsin 
y-b 
wenn b negativ ist. 
Für die Ellipse setzen wir nun: a = r 2 , ß = Q 2 , wo r und q die Halbaxen 
sind; es ist dann in den eben entwickelten Formen zu nehmen: 
a~a~r 2 > b= —1, 
wodurch sich ergibt: 
J 
y(r 2 — x 2 ) dx 
_ xY^r 2 —x 2 ) r 2 
+ -q- arc sin 
/U 
+ const. 
oder wenn man die Grenzen x' und x nimmt: 
r X ’v,„2 ~ 2 w~-*T(r 2 -»' a )-*y(r , -* a ) . r 2 ( _ . x’ . x\ 
J x )ux — + — ^arc sin arcsin-^, 
. Q [x’y{r 2 -x' 2 ) xY^-x 2 ) r 2 ( . x r aAl 
F ~ sm v- - [ 2 ■’ 2 + T ( arc sm T ~ arc sm r ) J 
Geht man vom Anfangspunkt der Coordinaten aus, d. h. setzt man x — 0 und 
x für x', so kommt: 
F— sin (j. - jj 
’xY (r 
r 2 
2 - + Y arcsin ~ 
:] 
Will man das ganze Stück der Ellipse Ist r/> ein rechter Winkel, a und b die 
haben, welches auf der positiven Seite beiden halben Hauptdurchmesser, so er- 
der zundj liegt, so ist x=r zu setzen, gibt sich 
und es kommt: F~nub 
F=-smyrn. und da dieser Ausdruck mit dem Obi- 
v gen identisch sein muss, ist 
Das Stück, welches den positiven x (< b — r „ s j n ( . 
aber den negativen y entspricht, ist , , , _ . ’ 
offenbar diesem gleich, da die entspre- 111 ” cas Rechteck unter zwei conju- 
chenden Ordinaten dieselbe Länge ha- girten Halbmcsse ™ «t stets constant.“ 
ben. Dasselbe ergibt sich auch aus der Setzen wir jetzt für die Hyberbel 
Formel, da das Vorzeichen von y kei- _ , 2 o— __ 2 
nen Einfluss ausübt, und Gleiches lässt . . P — P > 
sich, wie leicht zu sehen ist, auch von 80 ^ unserer Formel zu nehmen: 
den beiden übrigen Theilen der Ellipse 
sagen, so dass man für die ganze von a ~— C( — _ r 2 ¿ = j un( j _ Q 
ihr eingeschlossene Figur hat: ’ ’ \ a r 
F = n sin (fVQ. also: 
JdxY(x 2 n) = ^■+lg[a;-|-y(a; 2 — r 2 )], 
woraus sich ergibt: 
F— sin(i 9 [ x 'V( xr2 - r '-) ~ x K x *~ r[l ) , , ^ + y(^ 2 ~^')l 
''r L 2 ^ ^ X+ Y(x 2 ~r 2 ) 1 
Nimmt man den Flächeninhalt von dem Punkte an, wo die Curve die Axe 
schneidet, so ist zu setzen: x~r, also wenn man x für x f schreibt: 
. t .![d^ + ls (£ + } /(|_„)]. 
Der Fall, wo die beiden Axen die Assymptoten sind, ist hier ausgeschlossen. 
Erwägt man ihn besonders, so gibt die Gleichung 
xy — a 2 
F- 
sm </.. 
sogleich: