Quadratur ebener Figuren. 
375 
Quadratur ebener Figuren. 
—dx — a 2 sin (f lg ^— j 
ganz wie oben. 
Für die Parabel ist die Gleichung der Curve: 
yt-Zpx, 
also: 
x' 
F = sinf/.y(2p) C y{x) dx — | sin <j y(2p) (x'^—x’ 2 ), 
•' x 
welche Formel, wie leicht zu sehen, sich auf die in Abschnitt 7) gegebene Ge 
stalt bringen lässt. 
Bei den folgenden Curven setzen wir rechtwinklige Coordinaten voraus. 
Für die Cycloide war: 
x — r (v — sin v), y-r{ 1 — cosc), dx = r (1 — cos v)dv, 
also: 
/ x f 
ydx — r" 1 j (1 —cos v)" 1 du 
(1 — cos c) 2 = f—2 cos v +1 cos 2 c 
oder wenn man 
setzt: 
pv r 
F — r 2 / (f — 2cos u+ycos2v)dv — §r 2 (v f — c) —2r 3 (sin c'— sine) 
J V 
r 2 
+ (sin 2 c' — sin 2c) 
oder wenn man 
v — 0, v' — 2n 
setzt, so ergibt sich für den ganzen Zweig der Cycloide: 
F=3nr 2 . 
Die Kettenlinie hat zur Gleichung: 
a d a 
y = -(e +e ); 
wir setzen ;r = 0 und x für x', so dass sich ergibt: 
xx x 
F=| f f , {e “ +e = »). 
Die Curven, welche zur Gleichung haben; 
n n—m m 
V =P x , 
wo m und n beliebige positive Zahlen sind, nennt man Parabeln höherer 
Ordnung. Man hat für sie allgemein, wenn man mit dem Punkte anfängt, wo 
y=x — 0 ist, also die Curve die Axe schneidet: 
1 
m 
1 m 
n —f-l 
F-p n f x n dx = ~ -x 
n 1 H 
+ ■ 
” n 
Hyperbeln höherer Ordnung nennt man diejenigen Curven, deren Glei 
chung die Gestalt hat: 
m h «i+n 
x y =p ;