Quadratur ebener Figuren. 379 Quadratur ebener Figuren.
Nach II 22) der Integraltafeln hat man:
X
A
y(a J —x 2 )
2 dx
/
y(a 2 — x 2 )
2 y(« 2 —* 2 } +
U — arc sin
Es ist also
arcsin ^^+2«y(a 2 —a? 5 )—^y(« 2 —x 2 ) —2« 2 -
r^’
S = ± j r*d9
Setzt man hierin x = a, einen Werth,
welchem y — 0 entspricht, setzt also die
Integration vom Anfangspunkte bis zum • J 9
Schnittpunkte der Curve mit der Axe Stehen der Ra diusvector r und der
der x foit, so kommt: Centriwinkel 9 in einer linearen Be-
F=a 2 (j Ti — 2). ziehung:
Wir gehen hier noch die Quadratur r~a-\—-
einiger Figuren, deren Begränzungscurve 71
sich leicht in Polarcoordinaten ausdrückt, so heisst die entsprechende Curve Ne-
mittels der Formel: oide. Man hat:
s=i /„ (“ + ir)’ ■«=[(« ] sj=(*■*—') h
wo die Integration mit
9 = 0, r = n
begonnen ist.
Für 9 = 2n ergieht sich ‘ offenbar:
S = (n 2 +2 ab + £A 2 ) n = [(a + 6) 2 + ^ h 2 ]x.
Für 9 = Ti, d. h. für den Theil der also ist:
Fläche, welcher auf einer Seite der Axe y. a
begt, ist: S = a 2 P 9*d9 = ^9*.
J n ^
• S = ^(2a 2 +3a6 + 6 2 ).
D
Die archimedische Spirale hat
zur Gleichung:
r = a9,
Die Gleichung der Ioga r ithmischen
Spirale ist:
9 2 9
9 = a\gi', r = ß a
29
S =f ß a d9 = ^ (e a =lj=^(r 2 -l).
10) Ueher die Quadratur von
Flächenstücken, die durch andre
Coordinaten gegeben sind.
Aus dem Obigen ersieht mau, dass die
Flächenstücke, welche die Quadraturfor
mel zunächst ergibt, in genauem Zusam
menhänge mit dem gewählten Coordi-
natensystem stehn. So gaben recht
winklige Coordinaten ein Trapez-artiges
von 3 graden Linien, deren 2 parallel
sind, und einer Curve begrenztes Stück,
Polarcoordinaten Sectoren. Durch andre
Wahl der Coordinaten erreicht man es
auch, Stücke zu quadriren, die von 2
Seiten aus oder von mehreren eine krumm
linige Begränzuug haben. Wir wollen
auch dies an einigen Beispielen dar-
thun.
Sei ABCD eine beliebige Curve, EFG
ihre Evolvente, so hat die letztere die
Eigenschaft (siehe den Artikel: Tra-
jectorien), dass die Normale derselben
