Quadratur ebener Figuren. 380 Quadratur ebener Figuren. 
Fig. 50. 
immer Tangente der ersteren, und die 
Länge dieser Normale EB bis zum Be 
rührungspunkte B mit der Evolute gleich 
dem Bogen dieser, von einem beliebigen 
Punkte A gezählt, sein muss. 
Wir denken uns jetzt 2 nächste Nor 
malen , EB und CF, an die Evolvente 
gezogen, so ist EB=AB = s, FCzzAC 
■=s-\-ds, wenn wir unter s den Bogen 
der Evolute verstehen. Es ist dann 
ECF als ein unendlich kleiner Kreis- 
sector zu denken, dessen Radius gleich 
s ist, und dessen Centriwinkel gleich 
dem Winkel dl ist, den 2 nächste Tan 
genten an ABC mit einander machen. 
I ist dann offenbar der Winkel, den die 
Tangente mit irgend einer beliebig zu 
wählenden Linie macht. Es wird dann 
der Flächeninhalt des bezeichneten Sectors 
sein; 
4s 2 dl. 
Sucht man also den Flächeninhalt BEGD, 
welcher von einer beliebigen Curve, ihrer 
Evolvente und 2 Tangenten derselben 
begränzt ist, so hat man dafür die 
Formel: 
r l 
:4 j S 2 dl, 
vente die Curve trifft. Für jede Evol 
vente ist Punkt A anders zu bestim 
men. Um mittels dieser Formel bequem 
rechnen zu können, ist es nöthig, eine 
Relation zwischen den Bogenlängen s 
und den Tangentenwinkcln l zu haben, 
also gewissermaassen diese Grössen als 
Coordinaten zu betrachten. (Ueber diese 
in mancher Beziehung wichtigen Coordi 
naten vergleiche man den Artikel: Trans 
formation.) 
Wir geben hier die Gleichungen eini 
ger Curven in solchen Coordinaten. 
Es ist für den Kreis 
s~rl 
wo r der Radius ist. 
Für die Hypocycloide, Epicycloide oder 
Cycloide 
s = A cos al, 
wo die Grössen A und a folgende Be 
deutung haben: Sei r der Radius des 
rollenden Kreises, R der desjenigen, auf 
dem das Abrollen stattfindet, und nimmt 
man r negativ für die Epicycloide, posi 
tiv für die Hypocycloide, so ist: 
.4 r R 
A-— (ß+r), u— 
R 
R+2r' 
Für die gemeine Cycloide ergibt sich; 
A = 4r, u = l. 
Für die logarithmische Spirale hat man: 
A 
s~Ae 
nnd für die Kettenlinie 
s = A tg l. 
Es ist zu bemerken, dass, da der Punkt 
A, von dem aus man die Bogen zählt, 
beliebig ist, zu dem Ausdruck für jeden 
Bogen eine willkürliche Constante hin 
zugefügt werden kann, es wird jedoch 
hierbei die Evolvente sich ändern. 
Wenden wir auf diese Curven unsere 
Formel an, wobei wir mit Z = 0die Qua 
dratur beginnen wollen. 
Für den Kreis ist: 
<f=$J' 1 {rl-\-aYdl-[(W+«)«-«•]. 
wo l, V die Winkel der Tangenten EB Dies ist also das vom Kreise und seiner 
und DG mit der beliebig zu wählenden Evolvente, so wie von einer Kreistan- 
Linie, s der Bogen der Curve ist, von gente begränzte Flächenstück, 
dem Punkte A an gezählt, wo die Evol- Für die Cycloiden ist: 
A 2 A 2 r^ cos 2rtl\ A 2 
< f = ~2j (cosal-\-a) 2 dl=-^-J (« 2 +4+2« cos n/-| ^j i (a a -}-i) —g- 
¡«■A 2 • t , A 2 * n J 
+ sm«i + - 5 — sin 2cd. 
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