Quadratur ebener Figuren. 381 Quadratur ebener Figuren. 
Für die gemeine Cycloide, wo «=1 
ist, ergibt sich: 
(f ~l (a 2 -f-?) sin /-f-^-sin2/. 
2 8 
Nimmt man die Grösse 1 = —. so kommt: 
2 u 
7 =' 
8« 
Eine der Evolventen der Cycloide ist und für die gemeine Cycloide: 
wieder eine solche, und diese entspricht n 
dem Werthe von a = 0 (siehe den Ar- y = —3—. 
tikel: Trajectorien); für diese also ist: 
Es ist dies das von 2 Zweigen der ent- 
7 — 
| A 2 c j n ogl. sprechenden Cycloiden begrenzte Stück. 
4 8« Die logarithmische Spirale gibt: 
J , cd 
2 cd 
cd 
,=Af{e 
und für 1—0, in welchem Falle die Evolvente wieder eine logarithmische Spi 
rale ist: 
7 ~2^ 6 +ia6 
cd 
-1-4 a). 
Nehmen wir schliesslich noch die Kettenlinie. 
Es ist: 
Z 2 + 2atgZ+a 2 ) dl. 
Nach III 8) der Integraltafeln war: 
y tg l 2 dl — tg l /, 
und nach III 6): 
ftgldl=—\g cos I, 
also: 
<f —A (tg l — 2a lg cos/-{-(«*— 1) /); 
für rtzz + 1 ergibt sich hieraus: 
y = A(tgZ+21gcosJ). 
Der Ausdruck y wird hier schon unend 
lich, wenn l— 1 ^ ist. 
Für / = ^ ist y — A (iy_^lg2). 
Diese Betrachtungen sind aber einer 
bemerkenswerthen Erweiterung fähig. 
Seien in der Ebene (Fig. 51) nach 
einem beliebigen Gesetze grade Linien 
gezogen, wo die Entfernung einer jeden 
von der nächsten als verschwindend klein 
betrachtet wird. Sämmtliche Linien kann 
man dann als eine Schaar von Tangen 
ten irgend einer Curve betrachten, AB CD, 
welche wir ihre Charakteristik nennen, 
und die durch sie vollständig bestimmt 
ist; andrerseits sind aber auch, wenn 
letztere gegeben ist, die graden Linien 
vollständig bestimmt. 
Man kann nun durch irgend einen 
Punkt E einer der graden eine Curve 
legen, welche mit FA einen gegebenen 
Fig, 51. 
Winkel u bildet, der Art, dass diese 
Curve mit jeder der übrigen Graden BF, 
CG denselben Winkel « macht. Diese 
Curve heisst Trajectorie der gegebenen 
Schaar grader Linien, sie ist durch 
Punkt E und Winkel n vollständig be 
stimmt. Auch die Charakteristik ist 
eine Trajectorie, die dem Werthe « = 0 
entspricht. Die Evolvente irgend einer 
Curve ist also ebenfalls als Trajectorie 
aufzufassen, welche dem Werthe 
U 
entspricht.