Quadratur ebener Figuren. 382 Quadratur ebener Figuren. 
Ist andrerseits die Trajectorie ELM Sei noch dl der Winkel zweier nächsten 
und Winkel « bekannt, so ist sowohl Tangenten LMN und MQ, wo LMN als 
die Schaar von graden Linien, als de- die Verlängerung von LM zu denken ist. 
ren Charakteristik gegeben. Es wird dann l der Winkel der Tan- 
Legen wir jetzt durch Punkt U einer gente an die erste Curve mit einer be- 
der Linien eine zweite Trajectorie IIFG, liebigen Linie sein, und Winkel QMC = a, 
deren Schnittwinkel ß ist, und beschäfti- also Winkel N MC = aß-dl. Man erhält 
gen wir uns damit, den von beiden Tra- also Winkel 
jectorien und zweien der Graden be- LMC—n—u — dl 
gränzten Raum zu quadriren. Es wird 
zu dem Ende zunächst nöthig sein, die und da LCM der dritte Winkel des Drei- 
Relationen, welche zwischen den Curven eckes LMC ist: 
ELM und HEG stattfinden, zu be- / rnr— n 
stimmen. LGM — dl. 
Sei das Bogenclement LM = ds, das Bezeichnen wir den Winkel zweier näch- 
Bogenelement EG = da, dann ist: ster Tangenten an die Curve HEG mit 
Winkel BLM—cc, Winkel BEG — ß. dl, so ist: 
Winkel BFG = ß, Winkel CGF=n-ß-dl, FOG = dl, 
woraus dann folgt; 
dl = dl d. h. 1 = 1+0, 
wo C eine beliebige Constante 
Diese Constante lässt sich leicht 
stimmen. 
Eig. 52. 
ist. 
bc- 
Sei (Fig. 52) OK derjenigen Linie 
parallel, mit welcher EG den Winkel 
Winkel LMG = a+dl, Winkel FML = 
l, mit LM den Winkel l macht, so ist 
offenbar: 
Winkel MOG = l—l, 
aber: 
Winkel OLE = a, Winkel OEL = n-ß, 
also: 
MüG = ß — u = l — 1= C, 
so dass man hat: 
l—ß= l—a. 
Betrachten wir nun das unendlich 
kleine Viereck FLMG, und setzen darin: 
FL = o, also GM= o + d,t. 
Sei ferner der unendlich kleine Winkel 
LFM = di und die Diagonale EM = U. 
Man hat dann in Dreieck ELM: 
o : ds = sin (u—dt) : sin dt, 
und in Dreieck FGM: 
Q + dy : du = sin (ß — dt) : sin (dl+ dt). 
Es ist nämlich : 
dt, also Winkel EMG = dl+dt. 
Die erste Bezeichnung gibt: 
q sin dt = ds sin («—dt), 
oder da man sin dt mit de vertauschen, und dt gegen a vernachlässigen kann; 
pds — sin a ds. 
Die zweite giebt, unter ähnlichem Bestimmen der unendlich kleinen Grössen: 
q {dl+ dt) — sin ß d a. 
d. h. mit Berücksichtigung der eben gefundenen Gleichung: 
1) Qd l=sin ßda — sin ads. 
Findet man noch V aus beiden Dreiecken FI^M und FGM, so kommt; 
i/ 2 = q 2 +ds 2 -f-2■; ds cos « = («-(- do) 2 +dr> 2 4-2 (q + dt>) dir cos (ß + dl). 
Also indem man die unendlich kleinen Grössen von der zweiten Ordnung ver 
nachlässigt : 
¡¡ds cos a = gdo -(- q cos ßda,