Quadrate (Methode der kleinsten). 32 Quadrate (Methode der kleinsten). 
Quadratisc 
Es ist also der wahrscheinlichste Werth 
des mittleren Fehlers: 
/ 2x 2 _ /0.038053 
i= l/^7 = | 
9B 
0.020228, 
der wahrscheinlichste Werth des wahr 
scheinlichen Fehlers: 
p = 0,67448971 = 0,013644 
0,4769360 
und die Werthe g 
0,4769360 
1+- 
V’ 
\n 
)• 
welche die wahr 
scheinlichen Grenzen des wahrscheinlichen 
Fehlers geben, sind: 
0,012976, 0,014312. 
Die wahrscheinlichen Werthe der Con- 
stanten a und b haben die wahrschein 
lichen Fehler (siehe 6): 
wo e leicht mit Hülfe des unter dem 
Artikel Quadrat angezeigten directen 
Verfahrens, oder durch die Formeln 
in 6) 
! ■ —, A = 
A(n) 2 , 2 {uv) 
\ A t 
2 {uv), 2{v 2 ) 
bestimmt wird, denn dies sind die Werthe 
der entsprechenden Determinanten für 
n — 2. Hier ist übrigens m=1, 
also A = 95 2® 2 — [J^t))] 2 , Aj = 2v 2 , 
und mit Hülfe der Werthe von Ar 2 
und 2{v): 
./38165877 
[ 4595195 
P = 0,00473 
Für e' erhält man, indem man u mit 
v vertauscht A r t — An 2 = 95, während 
A ungeändert bleibt; es kommt 
,_ /38165877 
6 | 95 
P t = 0,0000215. 
Setzt man aber in P und P t für g die 
wahrscheinlichen Grenzen des wahrschein 
lichen Beohachtungsfehlcrs, also: 
0,012976 und 0,014312 
so erhält man als wahrscheinliche Gren 
zen des wahrscheinlichsten Werthes von a : 
0,00450 und 0,00496 
und von b: 
0,0000204 und 0,0000226 
10) Es ist noch eine Bemerkung über 
2 ('ex —l 2 
das Integral -y=. | ß dl zu ma 
chen, welches die Wahrscheinlichkeit an 
gab , dass der Fehler nicht grösser als 
x ist. Bezeichnen wir dasselbe mit 
(f{ctx), so ergieht sich mittelst mecha 
nischer Quadratur oder durch Reihenent 
wickelung : 
cf. 0,4769363 = 0,5000000 
<f 0,5951161 = 0,6000000 
<1 0.7328691 = 0,7000000 
c f 0,9061939 = 0,8000000 
Cf 1 =0,8472008 
<f 1,1630872 = 0,9000000 
Cf 2,326754 =0,9990000 
ff 2,7510654 = 0,9999000 
y(co) = 1. 
[u) 2 2{v) 2 — [2(«r)] 2 , A , = 2(v)* 
War g der mittlere Fehler, so ergab 
sich kq =0,4769360; es ist also 
ccx 
0,4769360 
der Werth des Fehlers ausgedrückt in 
Theilen des wahrscheinlichen Fehlers. 
Es sei noch 0,4769360 = er, so nimmt un 
sere Tafel auch die Form an: 
cf 0 = 0 
Cf a =0,5 
cf 1,247790a = 0,6 
Cf 1,536618a = 0,7 
Cf 1.900032a = 0.8 
Cf 2,096716a = 0,8427008 
<f 2,438664a = 0.9 
<f 3,818930a = 0,99 
cf 4.880475a = 0,999 
< f 5,768204a = 0,9999 
Cf co =1 
also es ist z. B. die Wahrscheinlichkeit, 
dass der Beobachtungsfchler 1,247790 des 
wahrscheinlichenFehlcrs nicht überschreite, 
gleich 0,6 u. s. w. 
Es würde also in unserm Beispiele die 
Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler x 
den wahrscheinlichen Fehler 0,0136 nicht 
überschreitet, ~q{a)~\ sein, d. h. dies 
würde unter 95 Fällen 47mal Vorkom 
men, was aus Tafel 3 sich als zutreffend 
ergieht; in der That sind 47 der unter 
x enthaltenen Zahlen absolut genommen 
kleiner als 0,0136. Dass der Fehler den 
wahrscheinlichen nicht um das Doppelte 
übertreffe, dafür ist, wenn man zwischen 
den Zahlen 1,9000326 und 2,0976716 in- 
terpolirt, 7 (2) = 0,82, d. h, es würde dies 
unter 95 Fällen 78mal verkommen, was 
sich ebenfalls durch Tafel 3 bestätigt. 
10) Auf den Hatzen der Anwendung 
der kleinsten Quadratsummen der Fehler 
hat zuerst Lcgcndre (Nomelles melhodes 
pour la determinalion des orbiles des co- 
metes, Paris 1806) öffentlich aufmerksam 
gemacht. Gauss hat dieselbe aber einer 
seits schon früher gekannt, andererseits 
dieselbe aber auc 
geführt und hegrv 
darüber sind enth 
moins Corporum 
1809) in zwei Abi 
natlichen Correspc 
und in der Zeits 
Bd. I, ferner in ( 
tionis observationi 
obnoxiae (Gotting 
einem Supplement 
Einschlagendes 
Théorie analytique 
Bessel Fundamenta 
Abhandlung desse 
mischen Nachricht 
gen Grundzüge dt 
rechnung 1837, 
Abhandlung von r . 
den Anhang zur 
viers Differenzial- 
Hannover 1848) l 
vollständige Darst 
von Enke in der 
x 
ist, yVt 2 — h aber : 
kann, so lassen 
so aussprechen: , 
brais che Fum 
ein Pro duct i 
toren zerlege 
ebenso gross 
ste Potenz d 
sie sonst wirl 
nicht ein der 
Resultat gebe 
Sind die CoefJ 
reell, so sind di< 
reell, oder von d 
i =]/—1 gesetzt 
Fall, so muss ei 
immer ein andrer 
Ist die Function 
Ordnung, so ist 
reeller Factor dar 
2) Der Beweis 
sich auf folgende 
I) Sei f(x) ein 
braische Function 
Faktor derselben, 
/0*0 = 
wo ffx eine andei 
drigere ganze F 
offenbar 
f\ 
denn da «—« g 
(x—d)cfx nur da 
von x ungleich 
cf{u) gleich unem