Quadratur krummer Oberflächen. 384 Quadratur krummer Oberflächen. 
1 // • , , cos « sin ß smß\ , sm(a-f-Ä). ..smä 
FL MG = 4 g (ds sin a +■ ds - — dp -) = 4o —ds~d(p 2 ) 
2 ^ v COS /? cos ß/ 2 cos ,3 “ ' COS /i 
Also wenn wir das gesuchte Flächenstück mit t bezeichnen, so kommt: 
sin(a-\-ß)r s> , sin d 
t = \—^ •LL! p ds (o' 2 — o a ), 
COS ß J s “ cos ß' s “ ' 
wo q dem Anfangswerth, (/ dem Endwerthe von p entspricht. 
Beginnt man mit s = 0, so ist: 
* —T 
L sin (a + ß) 
f 
cosß 
p ist durch Formel 4) gegeben. 
Ein Beispiel wird diese Formel erläutern 
Betrachten wir die logarithmische Spirale, als diejenige Curve, der die Grössen 
s und l angehören, so ist: 
s = Ae ml , 
+ sin( £-«V c otß Am i J e~ lcot Pe ml di, 
v g inJ I 
mi 
sin/? m—cotß 
wo der Einfachheit wegen Z o =0 gesetzt ist. Es kommt dann: 
_ , sin (« + ß) sind . Ä 7 mß ~ "^sin (n+ß) sin (ß — a) 
S ~ cosß ^° S cos,3^ J ' ’4sin^ cos^(m —cot^) 
fluadratur krummer Oberflächen. 
1) Man kann die Berechnwig irgend 
einer geschlossenen oder beliebig be- 
gränzten krummen Oberfläche ebenfalls 
als eine Verwandlung in eine Summe 
von Quadraten betrachten, und daher 
wird diese Operation ebenfalls mit dem 
Namen Quadratur bezeichnet. Der Name 
Complanation, der hierfür in neuerer 
Zeit häufig gebraucht wird, ist ziemlich 
unglücklich gewählt, da die Verwandlung 
einer solchen Fläche in eine Ebene 
durchaus Nichts mit dem in Rede ste 
henden Probleme zu thun hat, wenig 
stens dasselbe nicht löst. — Die For 
meln für diese Operation ergeben sich 
in der Gestalt von Doppelintegralen, und 
richten sich natürlich nach dem dafür 
gewählten Coordinatensystem. Wir wer 
den hier rechtwinklige oder Polarcoor- 
dinaten voraussetzen. 
Betrachten wir zunächst die recht 
winkligen Coordinaten x, y, z. Wir den 
ken uns die Ebene der xy in Rechtecke 
mit verschwindend kleinen Seiten dx 
und dy, bezüglich parallel denAxen der 
x und y getheilt, durch jede Seite eines 
solchen Rechtecks eine Ebene senkrecht 
auf der der xy gelegt, so werden die 4 
entsprechenden Ebenen auf der Ober 
fläche ein verschwindend kleines Vier 
eck ahschneiden, welches man als eben 
betrachten kann. Sei dV der Inhalt 
desselben, so ist dx dy seine Projection 
auf die xy Ebene, und macht also dV 
mit der xy Ebene den Winkel t, so hat 
man: 
dx dy = cos i d V, 
dx dy 
d\ = 
COS i 
Es ist aber t auch der Winkel, wel 
chen die Normale in dV mit der Axe 
der z macht, und für diesen ist be 
kanntlich : 
oder -wenn die Gleichung der Oberfläche 
in der Form f (x, y, ä) = 0 gegeben ist: 
di 
Y(g)’+(D’+(I0” 
oder