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Quadratur krummer Oberflächen. 385 Quadratur krummer Oberflächen. 
dr= iMi9’+(£)’ * “> = t i (lr)’+(|)’+(49* dxdt ■ 
dz 
Was die Grenzen der Integration anbe- Ebene legen. Sind dann y, y' die Werthe, 
trifft, so kann man sich ein beliebig welche den Ordinaten der Eckpunkte, 
grosses Rechteck in der xy- Ebene den- x, x' die, welche den Abscissen derselben 
ken, dessen Seiten bezüglich den Axcn entsprechen, so sind y, y', x, x' constant, 
der x und der y parallel sind, und durch und: 
dieselben Ebenen senkrecht auf die xy- 
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y 
das von allen vier Ebenen abgeschnittene nach den im Artikel „analytische Qua- 
Stück der Oberfläche. Man kann auch dratur“ (Abschnitt 35) gegebenen Regeln 
statt des Rechtecks auf der Ebene der zu verfahren. Seien z. B. in der x y 
xy sich eine beliebige geschlossene Curve Ebene 2 Grade, parallel der Axe der 
oder ein beliebiges Curvensystem den- x von 2 beliebigen Curven, deren Glei- 
ken, und durch dasselbe rechtwinklig auf chungen y = y(x), y~'/ x (x) geschnitten, 
der a;¿/-Ebene einen Cylinder legen; dann so entsteht eine Figur, durch die man 
werden aber y und y' die durch die senkrecht auf der xy-Ebene 2 Ebenen 
Gleichungen dieses Systems gegebenen und 2 Cylinderflächen legt, welche von 
Functionen von x sein. Sollen dann die der Oberfläche ein Stück abschneiden, 
Grenzen etwa umgekehrt werden, so ist dessen Werth ist: 
Aus dem Ausdruck für das Ober- . „ , . n 
flächenelement in rechtwinkligen Coor- Axe P X 1,e S t > von 0 bis 2’ aufderan ' 
dinaten lässt sich der Ausdruck dafür in 
Polarcoordinatcn durch Transformation 
herleiten. 
Es ist dies in dem Ab 
schnitt 36 des Artikels ,, analytische 
Quadratur“ geschehen. Indess geben 
wir hier eine zweite directe Methode für 
die Berechnung dieses Ausdruckes, da 
die Transformation eine keineswegs ein 
fache Rechnung bedingt. 
Es sei, um die Polarcoordinatcn zu 
bestimmen, eine feste Ebene yz, in die 
ser eine feste Linie OY, und in letzterer 
der feste Punkt 0 (der Pol) gegeben. 
Wir bestimmen dann die Polarcoordina- 
ten folgendermaassen. 
r ist die Entfernung eines gegebenen 
Punktes vom Pole 0. Dieselbe wird 
immer als positiv betrachtet. 
{h ist der Winkel von r mit der Nor 
male auf Ebene yz, also mit Axe OX. 
<f ist der Winkel, welchen die Pro 
jection von r auf Ebene yz mit Axe 
OY macht. 
Offenbar erhält man alle Punkte des 
Raumes, wenn man der Grösse r alle 
Werthe von 0 bis -fco gibt, den Win 
kel r/’ eine volle Drehung um Axe OY 
machen lässt, ihn also von 0 bis 2 n 
nimmt. Der Winkel 0- ist dann für alle 
Punkte auf der Seite von yz, auf welcher 
dem Seite von — bis n, also im Gan 
zen von 0 bis n zu nehmen. 
Alle Punkte, wo r einen gewissen con- 
stanten Werth hat, bilden eine Kugel- 
fläche, alle wo constant ist, eine Ro 
tationskegelfläche , deren Axe die der 
OX ist, endlich alle wo y constant ist, 
eine Ebene, welche durch OX geht, und 
es ist augenblicklich zu sehen, dass diese 
3 Flächen normal oder orthogonal auf 
einander stehn. 
Denkt man sich nun die r, .'f, <f, geän 
dert, so werden also 3 Systeme ortho 
gonaler Flächen entstehen. Betrachten 
wir jedoch (Fig. 53) nur das Stück 
ABDC, welches auf der Oberfläche der 
Kugel mit Radius AO~r liegt, und wel 
ches von zwei nächsten Kugelflächen, 
A OB und COl), die den Werthen 
AOX — !) und COX = O + clO- entsprechen, 
sowie durch 2 Ebenen, XOAC und 
XOBD, für welche die Werthe 3IOY=if 
und IS OY — y -Yd'/ gelten, begrenzt ist. 
Es wird durch sie auf der Kugelfläche 
ein unendlich kleines, also als eben zu 
betrachtendes Rechteck abgeschnitten, 
dessen Seiten AB undAC sind. Offen 
bar aber ist: 
AOC — dD, also: AC = rd&, 
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