Quadratur krummer Oberflächen. 391 Quadratur krummer Oberflächen. 
fläche von einer graden Linie erzeugt h=lsina, k=zl sin ß, 
sei, welche sich zwischen zwei beliebigen wo z natür i ich e ine veränderliche Grösse 
Curven AB und LU (Jbig. ob), die ment * g £ _A.]go • 
Fig. 56. 
F= 
F-. 
■*/: (■ 
ds. 
Kf 
... . do\ 
l (sin a+sm 
ds. 
Für einen Cylinder z. B. kann man die 
beiden Leitlinien immer so wählen, dass 
l constant, a =s, und« = /J 
ist. Denn die Erzeugungslinie bleibt 
sich immer parallel, und man kann die 
Leitlinien in einander parallelen Ebenen 
nehmen. 
Es ist also in diesem Falle: 
in einer Ebene liegen, derart bewegt, 
dass sie immer beide berührt. Bezeich 
nen wir mit: 
ab=zds, cd = der 
die Bogenelemente beider Curven, welche 
die gegebene Grade gleichzeitig zurück 
legt. Fällt man von c aus Loth ce—h 
auf die Tangente, welche durch a gezo 
gen ist, und von b aus Loth hf— k auf 
die durch d gezogene Tangente, so ist, 
da man die Richtung der Tangenten mit 
der der Bogenelemente identificiren kann, 
die Figur baci) als aus zwei Dreiecken 
bestehend zu betrachten, deren eins, cab, 
die Höhe h und die Grundlinie ds, das 
andere bed die Höhe k und die Grund 
linie da hat, so dass sich ergibt: 
, ' hds-\-kda 
baed — . 
Ci 
Es ist also, wenn man den Bogen s als 
unabhängige Variable betrachtet, ihm den 
Anfangswerth s und den Endwerth s' 
■gibt, mit F das entsprechende Stück der 
Oberfläche bezeichnet, welches zwischen 
zwei graden Erzeugungslinien AC und 
BD und den beiden Leitlinien AB und 
CD liegt, wo: 
AB=s'—s 
ist: 
Die Beziehung zwischen h, k, a, s muss 
durch die Gestalt der Leitlinien und die 
Bewegung der Erzeugungslinie bestimmt 
sein. 
Seien die Winkel, welche die letztere 
mit den Tangenten der Leitlinien s und 
<r in den augenblicklichen Berührungs 
punkten macht, bezüglich « und ß, und 
l die Länge des Stückes der Grade ac, 
welches zwischen beiden Leitlinien liegt, 
so ist: 
sin ads. 
Beim Rotationscylinder steht die Er- 
zeugungslinie auf der Leitlinie senkrecht, 
man hat sin« = l, 
F— l (s'—s). 
Diese Formel gilt aber offenbar nicht 
allein für den Rotationscylinder, sondern 
für jeden, wo die Erzeugungslinie auf 
der Ebene der Leitlinie senkrecht steht. 
Für die Kegelflächcn kann man statt 
der einen Leitlinie einen Punkt, den 
Scheitelpunkt nehmen. Es ist also: 
da — 0, 
F—i f ¿sin ads. 
Für einen Rotationskegel ist l cön- 
stant, und der Winkel « ist gleich 
da die Seite des Kegels auf dem 
Ci 
Grundkreise senkrecht steht, also: 
s~r\, 
wenn A der zu s gehörige Centriwinkel 
ist, also für den ganzen Kegel, wo 
A = 2^ ist, 
F—nrl. 
Wir kehren aber zum allgemeinen 
Falle zurück, und wollen noch die Be 
ziehungen der Grössen l, «, ß zu einander 
bestimmen. 
Seien zu dem Ende x, y, z die Coor- 
dinaten der Leitlinien vom Bogen s, 
f, y, £ die derjenigen, deren Bogen a 
ist, und mache die Erzeugungslinie Win 
kel mit den Axen, deren Cosinus A, fi, 
v sind, so ist bekanntlich in jeder Lage 
derselben; 
(x-t) — lk, {y-y)=zl[i, {z—D—lv. 
Es sind ferner: