33 Quadratische Factoren. 
'Methode der kleinsten). 
Quadratische Factoren. 
renzen des wahrscheinlichen 
, sind: 
.2976, 0,014312. 
inlichen Werthe der Con- 
l b haben die wahrschein 
liche 6) : 
mit Hülfe des unter dem 
trat angezeigten directen 
oder durch die Formeln 
*®)] 2 , A t — l{y) 2 
mittlere Fehler, so ergab 
69360; es ist also 
ax 
0,4769360 
es Fehlers ausgedrückt in 
wahrscheinlichen Fehlers. 
,4769360= ff, so nimmt un- 
ch die Form an: 
0 
0,5 
47790a = 0,6 
36618a = 0,7 
00032a = 0,8 
96716a = 0,8427008 
38664a = 0.9 
18930a = 0,99 
180475a = 0,999 
68204a = 0,9999 
= 1 
B. die Wahrscheinlichkeit, 
lachtungsfehler 1,247790 des 
icnFehlcrs nicht überschreite, 
s. w. 
also in unserm Beispiele die 
;hkeit, dass der Fehler x 
inlichen Fehler 0,0136 nicht 
= >f(ff) = 4 sein, d. h. dies 
95 Fällen 47mal vorkom- 
3 Tafel 3 sich als zutreffend 
er That sind 47 der unter 
t Zahlen absolut genommen 
0136. Dass der Fehler den 
hen nicht um das Doppelte 
für ist, wenn man zwischen 
9000326 und 2,0976716 in- 
|) = 0,82, d. h. es würde dies 
en 78mal Vorkommen, was 
; durch Tafel 3 bestätigt, 
en Nutzen der Anwendung 
Quadratsummen der Fehler 
egendre (Nouvelles tnetkodes 
minalion des orbites des co- 
1806) öffentlich aufmerksam 
mss hat dieselbe aber ciner- 
füher gekannt, andererseits 
dieselbe aber auch zuerst genauer aus 
geführt und begründet. Seine Arbeiten 
darüber sind enthalten in der Theoria 
moins Corporum Coelestium (Hamburg 
1809) in zwei Abhandlungen in der Mo 
natlichen Correspondenz Theil XX, 14 
und in der Zeitschrift für Astronomie 
Bd. I, ferner in der Theoria Combina- 
lionis observationum erroribus minimus 
obnoxiae (Göttingen 1828), sowie in 
einem Supplement zu dieser Arbeit. 
Einschlagendes enthält auch Laplace 
Théorie analytique de Probabilité Suppl. 
Bessel Fundamenta astronomiae und eine 
Abhandlung desselben in den Astrono 
mischen Nachrichten Bd. XV, 1838, Ha 
gen Grundzüge der Wahrscheinlichkeits 
rechnung 1837, so wie die erwähnte 
Abhandlung von Theodor Wittstein, die 
den Anhang zur Uebersctzung von Na- 
viers Differenzial- und Integralrechnung 
(Hannover 1848) bildet; auch ist die sehr 
vollständige Darstellung dieser Methode 
von Enke in den Berliner Astronomi- 
schen Jahrbüchern von 1834, 1835 und 
1836 zu erwähnen. 
Quadratische Factoren. 
1) Quadratische Factoren sind Facto 
ren von der Form x 2 -\-2ax-\-b. Es sind 
dieselben von Wichtigkeit, weil jede 
ganze algebraische Function 
2 n 2)i— i 2n—2 . 
f{x)-x +A f x +A t x + -“+ A 2n 
sich in ein Product von dergleichen Fac 
toren zerlegen lässt, und zwar sind in 
jedem Factor a und h reelle Zahlen, 
wenn die Coefficientcn A A. A n ... A 
12 n 
dergleichen sind. Der Ausdruck: 
2n-(-l . 2» 2n—1 . 
f X = X + A i X + Ä 2 X +-- + A 2. l+ l 
lässt sich in einen linearen Factor x-\-a, 
in welchem «reell ist, wenn A, A t ... reell 
sind, und in ein Product von quadra 
tischen Factoren zerlegen, ebenfalls un 
ter der angeführten Bedingung reeller 
Coefficienten. 
Da nun 
x 2 +2ax + b = {x + a + ^ a 2 — b) (æ + et — i/a 2 — b) 
ist, '\Ja 2 —h aber reell und imaginär sein 
kann, so lassen sich beide Sätze auch 
so aussprechen: „Jede ganze alge 
braische Function lässt sich in 
ein Product von lineären Fac 
toren zerlegen, deren Anzahl 
ebenso gross ist, als die höch 
ste Potenz der Function, da 
sie sonst wirklich multiplicirt 
nicht ein der erstem gleiches 
Resultat geben könnte.“ 
Sind die Coefficienten der Function 
reell, so sind diese Factoren entweder 
reell, oder von der Form x-\-a-\-ci, wo 
*=]/ —1 gesetzt wird. Ist letzteres der 
Fall, so muss einem Factor x+a + ci 
immer ein andrer x+a — ci entsprechen. 
Ist die Function von einer ungraden 
Ordnung, so ist immer wenigstens ein 
reeller Factor darunter. 
2) Der Beweis dieses Satzes stützt 
sich auf folgende Hülfssätze; 
I) Sei f(x) eine beliebige ganze alge 
braische Function von x und x—u ein 
Faktor derselben, so dass 
l(x)=(x — a)q(x) 
wo tfx eine andere um einen Grad nie 
drigere ganze Function ist, so ist 
offenbar 
/■(«) = 0; 
denn da a—a gleich Null ist, könnte 
(x—a)qx nur dann für besagten Werth 
von x ungleich Null werden, wenn 
(f{d) gleich unendlich ist; dies ist aber 
unmöglich, da q (x) eine ganze Function 
ist, und folglich nur für x — co den un 
endlichen Werth annehmen kann, ein 
Werth von «, der hier ausgeschlossen 
bleibt. 
II) Es lässt sich aber auch umgekehrt 
beweisen, dass wenn /■(«) = 0 ist, noth- 
wendig x —« ein Factor von f (x) sein 
muss. Denn dividirt man f(x) durch x—a, 
so erhält man jedenfalls : . 
f(x) B 
wo if/x eine ganze um einen Grad nie 
drigere Function als f(x), B aber der 
Divisionsrest, also eine Constante ist. 
Es folgt hieraus: 
i(x) = (x—«) ^ U’X+= (x—et) ipx+B, 
oder wenn man x = « setzt: 
/■(«)=B 
Da aber nach der Voraussetzung /*(«) = 0 
war, so ist auch B = 0, und 
f(x) = (x—a)i/>x 
was zu beweisen war. 
III) Wenn f(a)~0 ist, so ist « eine 
Wurzel der Gleichung 
/(•*) = 0 
Unser Satz von der Zerlegung der gan 
zen Functionen kommt somit, wie leicht 
zu sehen, auf einen andern zurück: 
„Jede algebraische Gleichung hat eine 
Wurzel von der Form u-\-ßi.“ 
Wir werden von diesem wichtigen Satze 
zunächst einen elementaren, von Cauchy 
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