Quadratur krummer Oberflächen. 395 Quadratur krummer Oberflächen. 
I sinß 
da 
ds 
+ «i*)* + s ® V - K c i4i-M( a i a + Ä i a J 
‘-i 
Z=Zsin« = — |/(J 1 c, +a 1 s) i + s 5 6 1 2 . 
Die Grösse F aber setzt sich aus der 
Summe der Integrale beider vorstehen 
den Ausdrücke zusammen. Diese Inte 
gration ist stets ausführbar, und führt 
wie ersichtlich auf Logarithmen oder 
Bogen zurück. 
Um jedoch noch ein wichtiges Beispiel 
anderer Art zu nehmen, wollen wir uns 
mit der Quadratur des Ellipsoids mit 8 
verschiedenen Axen beschäftigen. Das 
selbe hat die Gleichung : 
\ a*'b*'c 
d. h. 
x \v 7 i 1 iV’-n 
Denkt man sich in dieser Gleichung u 
constant, und verbindet man sie mit der 
1. Gleichung des Ellipsoids, so erhält man 
die Curve, welche von allen Punkten des 
Sei jetzt u der Cosinus desjenigen Win- Ellipsoids gebildet wird, deren Tangen 
kels, welchen die Tangentialebene eines tialebene mit der Ebene der xy gleiche 
beliebigen Punktes x, y, z der Oberfläche Winkel bilden. Die Projection dieser 
mit der Ebene der xy macht, so erhält Curve auf der Ebene der xy wird ge- 
man, wenn man diesen Cosinus nach funden, wenn man aus beiden Gleichun- 
den gewöhnlichen Regeln bestimmt: gen z eliminirt. Es ergibt sich: 
sr, 
Ä 2 ' c 2 
a 2 — (a 2 — c 2 )u' 1 
x 2 4- 
6 2 —-(i 5 
2 ) M 2 
y*=l. 
a 4 (l —m 2 ) 6‘(1—m 2 ) 
Diese Projection isQalso eine Ellipse, deren halbe Hauptaxen die Werthe haben: 
«'-k(l-u 2 ) b 2 V(1 —m 2 ) 
yV 2 (rt 2 — c' 2 )m 2> j/fi 2 — (6 2 — c 2 )« 2 
Bezeichnen wir daher mit s ihren Flächeninhalt, so ergibt sich: 
n a 2 b - (1—m 2 ) 
}/[a 2 — (« 2 — c 2 )m 2 ] [6 2 —(6‘— c 2 )m 2 ] 
Diese Grösse s istflmit U veränderlich. Halbaxen des gegebenen Ellipsoids in 
Lassen wir nun s um ds wachsen, so ist der Ordnung a, b, c ahnehmen (Gleichheit 
ds die Projection des ringförmigen Thei- nicht ausgeschlossen) und setzen: 
les des Ellipsoids, welcher zwischen zwei 
Curven liegt, die den Werthen u und c = acos/u, 
du entsprechen, und wegen der Bedeu- b ' a c 2 
tung von U ist, wenn wir diesen Ring y{a? — c) = a sin fx, c= b y(l —k 2 sin^ 2 ), 
mit dS bezeichnen: tt 
wo [x ein Winkel zwischen 0 und 
UdS = ds,' dS 
Um diejenige Hälfte des Ellipsoids zu 
haben, welche auf einer Seite der Ebene 
xy liegt, muss man nun dS nach U in- 
a 
sin ® 
Y{a 2 - c 2 ) Smr/ ' “ IhTJi'’ 
tegriren, indem man « von 1 nach 0 Grenzen 0 und variiren . 
abnehmen lasst, und das ganze Ellipsoid Man erMlt hi £ aus; 
o ist das Doppelte dieses Ausdruckes, 
Man hat also: 
^ ds du 
, ^ f ds du 
n~du W 
Ehe wir den Werth von # hier ein- 
setzen, machen wir noch einige Trans 
formationen. 
1 E 
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