Quadraturen — Zurückf. auf. 397 Quadraturen — Zurückf. auf. 
Quadraturen, Zurückführung der 
Differenzialgleichungen auf (.Analysis j. 
1) Einleitung. Die Zurückfiihrung 
auf Quadraturen enthält das bis jetzt am 
meisten angewandte Mittel zur Auflösung 
oder vielmehr zur Reduction der Diffe 
renzialgleichungen. — Die Worte; „Auf 
lösung einer analytischen Aufgabe“ wer 
den in sehr verschiedenem Sinne ge 
braucht. Man sagt z. B., dass die alge 
braischen Gleichungen bis einschliesslich 
zum vierten Grade auflösbar seien, womit 
eben nur gemeint ist, dass diese Auf 
lösungen sich auf ein bereits zuvor be 
handeltes Problem der Ausziehung von 
Wurzeln im gewöhnlichen Sinne, d. h. 
auf die Wurzeln solcher Gleichungen, 
deren erstes Glied ein Binom ist, zurück 
führen lasse. Man spricht aber auch 
von der allgemeinen Auflösung der al 
gebraischen Gleichungen, und versteht 
darunter, da eine allgemeine Zurückfüh 
rung dieses Problems etwa auch auf 
Wurzeln binomischer Gleichungen un 
möglich ist, irgend eine Methode, welche 
geeignet ist, in jedem gegebenen Falle 
zur Kenntniss der Wurzeln der Gleichung 
zu verhelfen. Der Unterschied zwischen 
beiden Arten der Auflösung ist also der, 
dass im ersteren Falle eine Keduction 
auf ein anderes einfacheres Problem ein- 
tritt, im zweiten, das Problem, welches 
ursprünglich vorliegt, direct angegriffen 
wird, und dazu dient, die Wurzeln zu 
gleich zu definiren und Ausdrücke dafür 
zu finden. 
Ganz Aehnliches findet bei den Diffe 
renzialgleichungen statt. Auch eine 
Gleichung von der Gestalt 
definirt völlig die Function von x, welche 
hier mit y bezeichnet ist, und nur in 
hesondern Fällen kann es gelingen, die 
sen Ausdruck auf eine schon vorher 
bekannte Form, also z. B. auf eine Auf 
lösung einer andern Differenzialgleichung 
von der Gestalt 
zurückzuführen, welche letztere in der 
That mit 
u—f 'f (x) dx, 
also mit einer Quadratur identisch ist. 
Im Allgemeinen dagegen gieht jede Dif 
ferenzialgleichung oder jedes System von 
Differenzialgleichungen eine neue Art, 
eben durch dieselben definirter Trans- 
cendenten. Es kann sich also nur darum 
handeln, Methoden für die Gewinnung 
dieser Transcendenten und zur Ermitt 
lung ihrer Eigenschaften aufzufinden. 
Dies geschieht entweder durch unend 
liche Reihen, oder durch algebraische 
Gleichungen, deren Coefficienten der 
gleichen Reihen sind, oder auch durch 
Angabe von Methoden, welche geeignet 
sind, bei numerischen Werthen von x 
das zugehörige y bis zu einer beliebigen 
Annäherung zu ermitteln. Eben so 
wichtig aber ist es, an die Differenzial 
gleichungen selbst eine Untersuchung 
der Eigenschaften derjenigen Transcen 
denten zu knüpfen, welche sie definiren. 
So z. B. weiss man immer, wenn diese 
Transcendenten doppelt periodisch sind, 
dass sie sich auf elliptische Funktionen 
zurückführen lassen, dass sie, wenn sie 
immer eindeutig und continuirlich blei 
ben, sich in die Form von nach ganzen 
positiven Potenzen geordneten, immer 
convergirenden Reihen bringen lassen 
u. s. w. Indess zu einer solchen Auf 
fassung des Problems, welche allerdings 
als die eigentliche uud allgemeine Auf 
lösung zu betrachten ist, hat man eben 
in neuester Zeit erst den Grund gelegt, 
und im Uebrigen muss man sich daher 
begnügen, die Fälle zu ermitteln, wo die 
Differenzialgleichungen complicirterer Art 
sich auf einfachere (z. B. partielle Diffe 
renzialgleichungen auf totale, und die 
einfacheren totalen auf Quadraturen) zu 
rückführen lassen. — Dies letztere Pro 
blem wird uns hier also hauptsächlich 
beschäftigen. Es ist jedoch nöthig, auf 
die Classificirung, Entstehung und Auf 
lösung der Differenzialgleichungen hier 
bei etwas näher einzugehen. 
2) Eintheilung der Differen 
zialgleichungen. 
Man kann jeder Differenzialgleichung 
eine doppelte Gestalt geben, je nachdem 
man die Differenziale selbst, oder die 
entsprechenden Differenzialquotienten ein 
führt. Gehen wir zunächst von der letz 
teren Gestalt aus. 
I. Eine Differenzialgleichung oder ein 
System solcher Gleichungen wird total 
oder partiell genannt, je nachdem alle 
darin vorkommenden Differenzialquotien 
ten nach derselben unabhängigen Va 
riablen genommen sind, oder mehrere 
von einander unabhängige Variablen 
und die nach ihnen genommenen Diffe 
renzialquotienten darin Vorkommen. Die 
allgemeine Form einer totalen Differen 
zialgleichung ist also: